Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Matek érettségi
  • Mire jó a matek?
  • Hogyan működik a mateking?
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Szülőknek
  • Egyetemistáknak
  • Középiskolásoknak
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Középiskolai matek (teljes)

Kategóriák
  • Algebra, nevezetes azonosságok
  • Halmazok
  • Gráfok
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • Számelmélet
  • Elsőfokú egyenletek
  • Elsőfokú függvények
  • Függvények ábrázolása
  • Másodfokú egyenletek
  • Egyenlőtlenségek
  • Síkgeometria
  • Egybevágósági transzformációk
  • Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Egyenletrendszerek
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Szöveges feladatok
  • Középpontos hasonlóság
  • Trigonometria
  • Kombinatorika
  • Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
  • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
  • Szinusztétel és koszinusztétel
  • Feladatok függvényekkel
  • Vektorok
  • Koordinátageometria
  • A parabola (emelt szint)
  • A teljes indukció (emelt szint)
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Térgeometria
  • Valószínűségszámítás
  • A várható érték
  • Statisztika
  • Vegyes emelt szintű feladatok
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Valószínűségszámítás

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Események, valószínűségek
02
 
Valszám feladatok a kedvező/összes módszerrel
03
 
Újabb remek valószínűségszámítás feladatok
04
 
Valszám feladat kockákkal
05
 
Néhány tipikus érettségi feladat
06
 
Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel, a Binomiális eloszlás
07
 
Újabb csodás valszám feladatok
08
 
Független és kizáró események
09
 
Egy újabb dobókockás feladat
10
 
Egy visszatevés nélküli mintavétel feladat
11
 
Valszám feladat független eseményekkel
12
 
FELADAT | Hipergeometriai eloszlás
13
 
FELADAT | Binomiális eloszlás
14
 
FELADAT | Binomiális eloszlás
15
 
Feladat | Klasszikus valszám
16
 
FELADAT | Binomiális eloszlás
17
 
FELADAT | Binomiális eloszlás
18
 
FELADAT | Klasszikus valószínűségszámítás

Események

Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.

Megkülönböztetünk elemi eseményeket, ilyen például, hogy egy dobókockával 1-est dobunk. Vannak azonban olyan események is amik több elemi eseményből épülnek fel, ilyen például az, hogy párosat dobunk.

Az eseményeket az ABC nagybetűivel jelöljük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Valószínűség kiszámításának klasszikus modellje

A valószínűség kiszámításának klasszikus modelljét akkor alkalmazhatjuk, ha egy kísérletnek véges sok kimenetele van és ezek valószínűsége egyenlő. Ekkor az esemény valószínűségét úgy kaphatjuk meg, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Binomiális eloszlás

Ezt a képletet hívjuk binomiális eloszlásnak:

\( P = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

ahol $n$ a kísérletek száma,

$k$ a sikeres kísérletek száma,

$p$ pedig a sikeres kísérlet valószínűsége.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hipergeometriai eloszlás

A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás, képlete pedig:

\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Visszatevés nélküli mintavétel

A visszatevés nélküli mintavétel tipikus példája, hogy van egy doboz, benne $N$ darab elem. Közülük $K$ darab valamilyen tulajdonságú, az egyszerűség kedvéért hívjuk selejtesnek. Mondjuk sárga vagy szép vagy ronda. Kihúzunk $n$ darab elemet, és ez a képlet meg fogja nekünk mondani, hogy mekkora az esélye, hogy közülük $k$ darab a vizsgált tulajdonságú:

\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)

De vannak olyan esetek, amikor a visszatevés nélküli mintavételnél másik képletet kell használnunk. Ezt a másik képletet binomiális eloszlásnak nevezzük, és olyankor használjuk, amikor a selejtek száma helyett csak a selejtek arányát ismerjük. 

Ez a binomiális eloszlás képlete:

\( P = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

ahol $n$ a kísérletek száma,

$k$ a sikeres kísérletek száma,

$p$ pedig a sikeres kísérlet valószínűsége.

És, hogy mi alapján döntjük el, hogy a két képlet közül melyiket kell használni? A dolog nagyon logikus, nézd meg a kapcsolódó epizódot és minden világos lesz.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Visszatevéses mintavétel

Visszatevéses mintavételről beszélünk, ha egy $p$ valószínűségű elem többszöri kihúzásának esélyét vizsgáljuk úgy, hogy ha kihúzunk egy ilyen elemet, akkor ezt követően azt visszarakjuk.

Például ha azt vizsgáljuk, hogy egy kosárban van 8 piros és 5 kék golyó, és mennyi a valószínűsége, hogy háromszor húzva két piros és egy kék golyót húznánk úgy, hogy a kihúzott golyókat mindig visszatesszük, akkor az egy visszatevéses mintavétel.

A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Független események

Az $A$ és $B$ eseményt egymástól függetlennek nevezzük, ha teljesül rájuk, hogy

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kizáró események

Az $A$ és $B$ eseményt kizárónak nevezünk, ha

\( A \cap B = \emptyset \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Legyen az $A$ esemény, hogy páros számot dobunk, a $B$ esemény pedig, hogy 2-nél nagyobb számot dobunk dobókockával.

Adjuk meg az alábbi események valószínűségeit.

\( A, \; B, \; A\cup B, \; A\cap B, \; A\setminus B, \; \overline{A} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Van két dobókocka. Mennyi a valószínűsége, hogy...

a) mindkét dobókockával 1-est dobunk?

b) mindkét dobás egyforma?

c) különböző számokat dobunk?

d) a dobott pontok szorzata páros?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász lesz?

b) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?

c) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?

d) Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán. Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?

e) Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán. Mia valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Két dobókockával egyszerre dobunk. Mi a valószínűsége, hogy

a) mindkét dobás páros?

b) legfeljebb az egyik dobás páros?

c) a dobott pontok szorzata páros?

d) a dobott pontok összege páros?

e) a dobott pontok összege legalább 10?

f) a dobott pontok szorzata 6?

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

 

a) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz mind az öt dobás 1-es?

b) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel nem lesz egyik dobás sem 1-es?

c) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy dobás 1-es?

d) Egy városban 0,2 a valószínűsége annak, hogy egyik nap esik az eső. Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten minden nap esik?

e) Egy vizsga 100 vizsgázóból átlag 26-nak nem sikerül. Egyik nap 12-en vizsgáznak. Mi a valószínűsége, hogy legalább egy vizsgázónak nem sikerül a vizsga?

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

 

a) Van egy dobókocka, aminek 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 pedig piros. Nézzük meg, mekkora a sansza, hogy 4 dobásból 2 sárga.

b) Van egy dobókocka, aminek 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 pedig piros. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 4 dobásból 1 piros.

c) Egy dobozban van 3 kék, 2 sárga és 1 piros labda. Kiveszünk a dobozból 4 labdát. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?

d) Egy dobókocka 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 oldala piros. Egymás után 4-szer dobunk a kockával. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?

e) Egy bárban 100-an vannak, közülük 60-an lányok. A vendégek közül kiválasztunk 10 embert. Mi a valószínűsége, hogy 7 lány?

f) Egy bárban a vendégek 60%-a lány. A vendégek közül kiválasztunk 10 embert. Mi a valószínűsége, hogy 7 lány?

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

 

a) Egy telefon biztonsági kódja 6 számjegyből áll és minden számjegy 0-9 bármi lehet. Mi a valószínűsége, hogy ha nem ismerjük a kódot, akkor elsőre kitaláljuk? A kódok hány százalékában szerepel az 1,2,3,4,5,6 számjegyek közül mindegyik?

b) Egy dominókészlet azonos méretű dominókból áll. Minden dominó egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma nem lehet egy készletben. Hány darabból áll egy dominókészlet?

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

a) Legyen az A esemény, hogy egy dobókockával párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Függetlenek-e ezek az események? Kizáróak-e?

b) Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik. Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása, a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?

c) Egy másik biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen. Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Egy dobókockával hatszor dobunk egymás után. Mi a valószínűsége, hogy

a) egyik dobás sem 1-es?

b) csak páros számokat dobunk?

c) mindegyik dobás különböző?

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Egy 20 fős osztályba 8 fiú és 12 lány jár. Kiosztanak közöttük 10 mozijegyet. Mi a valószínűsége, hogy

a) ugyanannyi fiú kap mozijegyet, mint ahány lány?

b) csak lányok kapnak mozijegyet?

c) csak fiúk kapnak mozijegyet?

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Egy síterepen az egyik felvonó végállomásától három sípálya indul. 20 napból a fekete pálya átlagosan 3 nap van zárva lavinaveszély miatt, a kék átlagosan 2 nap, míg a piros átlagosan 4 nap egymástól függetlenül. Mekkora a valószínűsége, hogy

a) mindhárom pálya nyitva van?

b) csak a kék pálya van zárva?

c) a piros pálya nyitva van?

d) legalább egy pálya nyitva van?

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Egy üzlet a következő 20 napból 3 nap zárva tart. Kiválasztunk 5 napot, mi a valószínűsége, hogy 3 nap lesz nyitva?

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag 12 nap szokott esni. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy

a) legfeljebb 2-en mennek át?

b) legalább 2-en mennek át?

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

A H halmaz az első 90 pozitív egész szám halmaza. H-ból véletlenszerűen kiválasztunk két különböző számot. Mi a valószínűsége, hogy a két kiválasztott szám egy derékszögű háromszög fokban mért valamelyik két szöge?

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

A fák egy részében megtelepedett a szú. Bármelyik fát kiválasztva 4% annak a valószínűsége, hogy van benne szú. Egy vásárló 50 fát vett. Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb egy szúrágta fa kerül a rakományba?

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Egy dobozban több ezer érme van, amelyek 3%-a hibás. Az érmék közül véletlenszerűen kiválasztunk 80-at. (A kiválasztás visszatevéses mintavétellel is modellezhető.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb 2 hibás érme lesz a kiválasztott érmék között?

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Az ötöslottón 90 darab golyóból húznak ki 5 darabot. A golyók 1-től 90-ig vannak számozva. Mi a valószínűsége, hogy

a) a legkisebb kihúzott szám a 64?

b) öt egymás utáni számot húznak ki?

c) csak páratlan számokat húznak ki?

d) a kihúzott számok szorzata kettőhatvány?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt röviden és érthetően elmeséljük a valószínűségszámítás alapjait. Megnézzük mik azok az elemi események, hogyan kell kiszámolni események valószínűségét. Események, Elemi események, Valószínűségek, Klasszikus valószínűségszámítás, Eseménytér. Szuper-érthetően elmeséljük, mikor független és mikor kizáró két esemény. Feladatokat is nézünk független és kizáró eseményekre. Függetlenség, Független események, Kizáró események, Eseményalgebra. Készítünk egyegészen szuper kombinatorikai összefoglalót is, amiből kiderül, mikor kell permutációval, mikor kell variációval és mikor kell kombinációval számolni. Ezek után sok-sok egy egészen szuper klasszikus valószínűségszámítás feladatokat találsz. Mindegyiket úgy oldjuk meg, hogy kiszámoljuk a kedvező esetek számát valamilyen remek kombinatorikai képlettel, aztán kiszámoljuk az összes eset számát szintén valami kombinatorikával, végül elosztjuk őket egymással. Kedvező/összes, Kombinatorika feladatok megoldással,valszám feladatok megoldással, permutáció, variáció, kombináció. Középiskolai matek felelevenítése.



Események, valószínűségek

Megismerkedünk a valószínűségszámítás alapjaival, hogy mik azok a valószínűségek, hogyan kell őket kiszámolni, megnézzük mi az a klasszikus valószínűség és, hogy még milyen nem klasszikus valószínűségek lehetnek. Kezdjük egy nagyon egyszerű dologgal. Ezek tulajdonképpen a középiskolás matematika tananyag összefoglalását és átismétlését jelentik. A középiskolás matek addig jut el, hogy klasszikus valószínűségszámítás a kedvező/összes módszerrel, illetve minimálisan érinti a függetlenség, kizáróság témáját. Mi a középiskolai matekot elég hamar magunk mögött hagyva egészen valószínűségszámítás feladatokkal fogunk majd foglalkozni. Kezdjük is. Van egy dobókockánk, dobunk vele egyszer és nézzük meg milyen események történhetnek. 

Lehet, hogy 1-est dobunk.

Aztán az is lehet, hogy 2-est.

Aztán az is lehet, hogy mielőtt megállna a kocka egy meteorit csapódik a földbe és a kockával együtt az egész emberiséget elpusztítja.

Nos ebben az esetben a dobás érvénytelen. Mi most kezdetben csak azokkal a lehetőségekkel fogunk foglalkozni, amikor a dobás érvényes, vagyis a hat szám közül valamelyik.

Ezt klasszikus valószínűségszámításnak nevezzük és egy ideig ezzel fogunk foglalkozni, a meteoritok majd csak később jönnek.

Összesen tehát hat darab eset van. Ezeket az eseményeket elemi eseményeknek nevezzük.

Vannak olyan események is amik több elemi eseményből épülnek föl. Ilyen például az, hogy párosat dobunk.

Vagy, hogy 2-nél nagyobbat.

Az eseményeket az ABC nagy betűivel jelöljük. 

Minden eseménynek van egy valószínűsége, amit úgy kapunk meg, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Így aztán minden valószínűség egy 0 és 1 közti szám.

A meglévő eseményeinkből újabb eseményeket készíthetünk.

Lássuk mekkora ezeknek a valószínűsége.

Nos ezeket érdemes megjegyezni, most pedig folytassuk valami érdekesebbel.

Az A és B eseményt egymástól függetlennek nevezünk, ha teljesül rájuk, hogy

Az előző dobókockás példánkban az A esemény az volt, hogy párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Nézzük meg, hogy ezek függetlenek-e.

Ez jónak tűnik, úgyhogy az A és B események tehát függetlenek.

Itt van aztán egy C esemény is.

Nézzük meg, hogy vajon B és C függetlenek-e.

Hát nem.

Az A és B eseményt kizárónak nevezünk, ha

Nézzük meg mi a helyzet a példánkban szereplő eseményekkel.

Nos úgy látszik ezek nem kizárók.

A és C viszont kizárók.

Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik.

Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?

A két esemény akkor független, ha

Nos lássuk csak mennyi lehet .

A jelek szerint tehát nem függetlenek.

És egyébként nem is kizárók, mert

Egy másik biztosítónál az ügyfelek 80%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen.

Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?

Nos van egy ilyen, hogy

Tehát az ügyfelek 2/3-ának vagyis 66%-nak van lakásbiztosítása.

Ez igazán remek, most pedig folytassuk valami egészen érdekessel.


Fatal error: Allowed memory size of 201326592 bytes exhausted (tried to allocate 32 bytes) in /home/maths/public_html/live/includes/database/database.inc on line 2171


Független és kizáró események

Megismerkedünk a valószínűségszámítás alapjaival, hogy mik azok a valószínűségek, hogyan kell őket kiszámolni, megnézzük mi az a klasszikus valószínűség és, hogy még milyen nem klasszikus valószínűségek lehetnek. A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését. A középiskolás matek addig jut el, hogy klasszikus valószínűségszámítás a kedvező/összes módszerrel, illetve minimálisan érinti a függetlenség, kizáróság témáját. Mi a középiskolai matekot elég hamar magunk mögött hagyva egészen valószínűségszámítás feladatokkal fogunk majd foglalkozni. Kezdjük is.A meglévő eseményeinkből újabb eseményeket készíthetünk.

Lássuk mekkora ezeknek a valószínűsége.

Nos ezeket érdemes megjegyezni, most pedig folytassuk valami érdekesebbel.

Az A és B eseményt egymástól függetlennek nevezünk, ha teljesül rájuk, hogy

Az előző dobókockás példánkban az A esemény az volt, hogy párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Nézzük meg, hogy ezek függetlenek-e.

Ez jónak tűnik, úgyhogy az A és B események tehát függetlenek.

Itt van aztán egy C esemény is.

Nézzük meg, hogy vajon B és C függetlenek-e.

Hát nem.

Az A és B eseményt kizárónak nevezünk, ha

Nézzük meg mi a helyzet a példánkban szereplő eseményekkel.

Nos úgy látszik ezek nem kizárók.

A és C viszont kizárók.

Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik.

Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?

A két esemény akkor független, ha

Nos lássuk csak mennyi lehet .

A jelek szerint tehát nem függetlenek.

És egyébként nem is kizárók, mert

Egy másik biztosítónál az ügyfelek 80%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen.

Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?

Nos van egy ilyen, hogy

Tehát az ügyfelek 2/3-ának vagyis 66%-nak van lakásbiztosítása.

Ez igazán remek, most pedig folytassuk valami egészen érdekessel.

Van egy dobókockánk, amivel egyszer dobunk. Az A esemény legyen az, hogy páratlant dobunk, a B esemény pedig az, hogy 3-nál nagyobbat.

Az A esemény valószínűségét a szokásos módon kapjuk meg.

Megszámoljuk hány esetben következik be és ezt elosztjuk az összes eset számával.

Eddig ebben nincsen semmi izgalmas.

Az izgalmak most jönnek.


Újabb remek valószínűségszámítás feladatok

Itt az ideje, hogy készítsünk egy rövid kombinatorikai összefoglalót. A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást és kombinatorikát. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését.

Van n darab elem

mindet kiválasztjuk

kiválasztunk közülük k darabot

a sorrend számít

a sorrend nem számít

PERMUTÁCIÓ

n darab különböző elem permutációinak száma n faktoriális:

mese:

Hányféleképpen ülhet le öt ember egymás mellé egy padon?

VARIÁCIÓ

n darab különböző elemből kiválasztott k darab elem permutációinak száma.

Hányféleképpen ülhet le öt ember közül három egymás mellé egy padon?

KOMBINÁCIÓ

n darab különböző elem közül kiválasztott k darab elem kombinációinak száma.

Hányféleképpen választhatunk ki öt ember közül hármat?

Ez mind nagyon szép. Most pedig lássunk néhány kombinatorika feladatot megoldással. Mindegyik feladat egyszerű középiskolai matek feladat, egyik sem nehezebb, mint amilyennel a matek érettségin találkozhatunk. Nekünk azért fontosak ezek a kombinatorika feladatok, mert sok izgalmas dolog épül majd az alap kombinatorikára és az alap középiskolai matek tudásra. Lássuk.

Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot.

Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász?

kedvező eset

összes eset

Kezdjük az összes esettel.

Az 52 lap közül választunk ki 5 darabot. A kérdés az, hogy számít-e a sorrend

vagy nem.

Mivel a szövegben ilyenek vannak, hogy első lap, meg harmadik lap, a jelek szerint számít a sorrend.

Most lássuk a kedvező eseteket.

Az első lap ász, ez négyféle lehet.

A következő lap elvileg bármi lehet a maradék 51 lapból.

Aztán a harmadik lapnak megint ásznak kell lennie.

Lássuk csak hány ász van még.

Fogalmunk sincs. Ha ugyanis a második helyre is ászt raktunk, akkor már csak kettő.

De ha a második helyre nem, akkor három.

Ez bizony probléma.

A kedvező eset számolásánál mindig a kívánsággal kell kezdeni.

Most tehát azzal, hogy az első lap ász és a harmadik lap is ász.

Utána jöhetnek a többi lapok.

Van még 50 darab lap a második helyre.

Aztán még 49 és 48.

Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?

Most is számít a sorrend.

Az összes eset ugyanannyi,mint az előbb.

Lássuk mi van a kedvezőkkel.

Megint a kívánsággal kezdünk.

De most csak ez a két ász van, tehát a második lap nem lehet ász.

Így csak 48 féle lehet.

Aztán 47 és 46.

Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?

Itt nem számít a sorrend ezért kombinációt használunk.

A 4 ászból ki kell húznunk kettőt.

Aztán pedig kell még 3 lap ami már nem ász.

Hát ez remek. Végül nézzünk meg még egy feladatot.

Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán.

Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?

A kiválasztás sorrendje nem számít, csak az, hogy kiket választunk a pályára.

Így aztán kombinációra lesz szükség.

Nézzük mennyi eset van összesen.

A 9 játékosból kell kiválasztanunk ötöt.

A kedvező amikor a két legjobb a pályán van, vagyis őket mindenképp kiválasztjuk,

és még hármat.

Mi a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?

Az összes eset itt is ugyanannyi.

A kedvező pedig amikor a két legjobb játékosból választunk egyet

és a többi tehetségtelen amatőr közül még négyet.


Újabb csodás valszám feladatok

FELADAT | Hipergeometriai eloszlás

FELADAT | Binomiális eloszlás

FELADAT | Binomiális eloszlás

Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel, a Binomiális eloszlás

Valszám feladat kockákkal

Néhány tipikus érettségi feladat

Két dobókockával egyszerre dobunk. Mi a valószínűsége, hogy

mindkét dobás páros?
legfeljebb az egyik dobás páros?
a dobott pontok szorzata páros?
a dobott pontok összege páros?
a dobott pontok összege legalább 10?
a dobott pontok szorzata 6?

Ha két kockával dobunk, akkor az egyik kockával is hatfélét tudunk dobni…

meg a másikkal is.

Az összes eset tehát 36.

Összes eset:

Most pedig lássuk a valószínűségeket.

egyik kocka: páros

másik kocka: páros

egyik kocka: páros

másik kocka: nem páros

vagy fordítva

vagy

mindkét dobás páratlan

A dobott pontok szorzata akkor lesz páros, ha mindkét dobás páros…

vagy pedig az egyik páros, a másik páratlan.

Végülis mindig páros lesz a szorzat, kivéve olyankor, amikor mindkét dobás páratlan.

Itt jön erre egy másik megoldás is.

Végülis mindig páros lesz a szorzat, kivéve olyankor, amikor mindkét dobás páratlan.

mindkettő

páratlan

Két szám összege akkor páros, ha mindkettő páros…

vagy mindkettő páratlan.

Lássuk, hogyan is lesz a pontok összege 10.

A kérdés úgy szól, hogy legalább 10, tehát az is jó, ha az összeg 11.

És az is jó, ha 12.

Ez hat darab lehetőség.

Nézzük, mikor lesz a szorzat 6.

Van itt ez a két doboz. Az egyikben 4 darab kártya van, a másikban pedig 5.

Véletlenszerűen húzunk mindkét dobozból egy-egy kártyát.

Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyákon lévő számok szorzata negatív?

Akkor lesz a szorzat negatív, ha az egyik kártyán pozitív szám van…

és a másikon negatív.

Vagy fordítva.

Az összes eset pedig…

Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyákon lévő számok összege páratlan?

Akkor lesz az összeg páratlan, ha az egyik kártyán páros szám van…

a másikon pedig páratlan.

Vagy fordítva.

Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz mind az öt dobás 1-es?

Annak a valószínűsége, hogy egy dobás 1-es:

Ha van még egy 1-es, akkor ennek az esélye szintén

A két 1-es egyszerre pedig:

A dobások egymástól függetlenek és ilyenkor a valószínűségeket össze kell szorozni.

Aztán, ha dobunk még egy 1-est…

Annak a sansza, hogy mind az öt dobás 1-es:

Most nézzük, mi a valószínűsége annak, hogy öt kockával dobva egyik dobás sem 1-es.

Ez annak a valószínűsége, hogy egy dobás nem 1-es.

Aztán a következő dobás sem 1-es…

és egyik sem.

Végül számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy öt kockával dobva legalább egy dobás 1-es.

Ez azt jelenti, hogy vagy egy darab 1-es van…

vagy két darab…

vagy három, vagy négy, vagy öt.

Ezt így külön-külön kiszámolni eléggé sok szenvedéssel járna.

Aki nem annyira szeret szenvedni, jegyezze meg, hogy

Hát, ennyit a kockákról.

Egy városban 0,2 a valószínűsége annak, hogy egy nap esik az eső. Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten mindennap esik?

Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten egyik nap sem esik?

Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten legalább egy nap esik?

Egy vizsga 100 vizsgázóból átlag 26-nak nem sikerül. Egyik nap 12-en vizsgáznak. Mi a valószínűsége, hogy legalább egy vizsgázónak nem sikerül a vizsga?

Itt van például Bob.

Nézzük, mekkora a valószínűsége, hogy nem sikerül a vizsgája.

Annak a sansza pedig, hogy sikerül…

Most pedig jön a szokásos trükk:


FELADAT | Klasszikus valószínűségszámítás

Egy újabb dobókockás feladat

Egy visszatevés nélküli mintavétel feladat

Valszám feladat független eseményekkel

Feladat | Klasszikus valszám

FELADAT | Binomiális eloszlás

FELADAT | Binomiális eloszlás

Valszám feladatok a kedvező/összes módszerrel

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim