- Algebra, nevezetes azonosságok
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet
- Elsőfokú egyenletek
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Síkgeometria
- Egybevágósági transzformációk
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Térgeometria
- Valószínűségszámítás
- A várható érték
- Statisztika
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Valószínűségszámítás
1. Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik. Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása, a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen. Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
Egy 52 lapos franciakártyából kihúzunk 5 lapot.
a) Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász?
b) Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?
c) Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?
Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán.
d) Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?
e) Mi a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Egy telefon biztonsági kódja 6 számjegyből áll és minden számjegy 0-9 bármi lehet. Mi a valószínűsége, hogy ha nem ismerjük a kódot, akkor elsőre kitaláljuk?
b) Egy dominókészlet azonos méretű dominókból áll. Minden dominó egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma nem lehet egy készletben. Hány darabból áll egy dominókészlet?
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Két dobókockával egyszerre dobunk. Mi a valószínűsége, hogy
A) Mindkét dobás páros?
B) Legfeljebb az egyik dobás páros?
C) A dobott pontok szorzata páros?
D) A dobott pontok összege páros?
E) A dobott pontok összege legalább 10?
F) A dobott pontok szorzata 6?
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
a) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz mind az öt dobás 1-es?
b) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel nem lesz egyik dobás sem 1-es?
c) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy dobás 1-es?
d) Egy városban 0,2 a valószínűsége annak, hogy egyik nap esik az eső. Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten minden nap esik?
e) Egy vizsga 100 vizsgázóból átlag 26-nak nem sikerül. Egyik nap 12-en vizsgáznak. Mi a valószínűsége, hogy legalább egy vizsgázónak nem sikerül a vizsga?
Megnézem, hogyan kell megoldani
7.
a) Egy dobókocka 3 oldala kék, 2 oldala sárga, 1 oldala pedig piros.
i) Mekkora a kék dobás valószínűsége, ha egyszer dobunk?
ii) Mekkora a két kék dobás valószínűsége, ha kétszer dobunk?
iii) Mekkora a sansza, hogy 4 dobásból 2 sárga?
iv) Mekkora a valószínűsége, hogy 4 dobásból 1 piros?
b) Egy dobozban van 3 kék, 2 sárga és 1 piros labda. Kiveszünk a dobozból 4 labdát. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?
c) Egy dobókocka 3 oldala kék, 2 oldala sárga, és 1 oldala piros. Egymás után 4-szer dobunk a kockával. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Az ötöslottón 90 darab golyóból húznak ki 5 darabot. A golyók 1-től 90-ig vannak számozva. Mi a valószínűsége, hogy
a) a legkisebb kihúzott szám a 64?
b) öt egymás utáni számot húznak ki?
c) csak páratlan számokat húznak ki?
d) a kihúzott számok szorzata kettőhatvány?
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Egy dobókockával hatszor dobunk egymás után. Mi a valószínűsége, hogy
a) egyik dobás sem 1-es?
b) csak páros számokat dobunk?
c) mindegyik dobás küönböző?
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Egy 20 fős osztályba 8 fiú és 12 lány jár. Kiosztanak közöttük 10 mozijegyet. Mi a valószínűsége, hogy
a) ugyanannyi fiú kap mozijegyet, mint ahány lány?
b) csak lányok kapnak mozijegyet?
c) csak fiúk kapnak mozijegyet?
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Egy síterepen az egyik felvonó végállomásától három sípálya indul. 20 napból a fekete pálya átlagosan 3 nap van zárva lavinaveszély miatt, a kék átlagosan 2 nap, míg a piros átlagosan 4 nap egymástól függetlenül. Mekkora a valószínűsége, hogy
a) mindhárom pálya nyitva van?
b) csak a kék pálya van zárva?
c) a piros pálya nyitva van?
d) legalább egy pálya nyitva van?
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Egy üzlet a következő 20 napból 3 nap zárva tart. Kiválasztunk 5 napot, mi a valószínűsége, hogy 3 nap nyitva lesz?
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag 12 nap szokott esni. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy
a) legfeljebb 2-en mennek át?
b) legalább 2-en mennek át?
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Egy nyomozás során egy hattagú társaság (A, B, C, D, E, F) tagjait 3 fős csoportokban hallgatják ki. Minden olyan 3 fős csoport kihallgatását megszervezik, amelyben A és B együtt nincs jelen. Összesen hány ilyen csoportos kihallgatást kell szervezni?
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. A fák egy részében megtelepedett a szú. Bármelyik fát kiválasztva 4% annak a valószínűsége, hogy van benne szú. Egy vásárló 50 fát vett. Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb egy szúrágta fa kerül a rakományba?
Megnézem, hogyan kell megoldani
17. Egy dobozban több ezer érme van, amelyek 3%-a hibás. Az érmék közül véletlenszerűen kiválasztunk 80-at. (A kiválasztás visszatevéses mintavétellel is modellezhető.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb 2 hibás érme lesz a kiválasztott érmék között?
Események
Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
Megkülönböztetünk elemi eseményeket, ilyen például, hogy egy dobókockával 1-est dobunk. Vannak azonban olyan események is amik több elemi eseményből épülnek fel, ilyen például az, hogy párosat dobunk.
Az eseményeket az ABC nagybetűivel jelöljük.
Valószínűség kiszámításának klasszikus modellje
A valószínűség kiszámításának klasszikus modelljét akkor alkalmazhatjuk, ha egy kísérletnek véges sok kimenetele van és ezek valószínűsége egyenlő. Ekkor az esemény valószínűségét úgy kaphatjuk meg, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
Binomiális eloszlás
Ezt a képletet hívjuk binomiális eloszlásnak:
\( P = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
ahol $n$ a kísérletek száma,
$k$ a sikeres kísérletek száma,
$p$ pedig a sikeres kísérlet valószínűsége.
Hipergeometriai eloszlás
A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás, képlete pedig:
\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{n} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)
Visszatevés nélküli mintavétel
Van egy doboz, benne $N$ darab elem. Közülük $K$ darab valamilyen tulajdonságú. Mondjuk sárga vagy szép vagy ronda. Kihúzunk $n$ darab elemet, és ez a képlet meg fogja nekünk mondani, hogy mekkora az esélye, hogy közülük $k$ darab a vizsgált tulajdonságú:
\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{n} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)
Visszatevéses mintavétel
Visszatevéses mintavételről beszélünk, ha egy $p$ valószínűségű elem többszöri kihúzásának esélyét vizsgáljuk úgy, hogy ha kihúzunk egy ilyen elemet, akkor ezt követően azt visszarakjuk.
Például ha azt vizsgáljuk, hogy egy kosárban van 8 piros és 5 kék golyó, és mennyi a valószínűsége, hogy háromszor húzva két piros és egy kék golyót húznánk úgy, hogy a kihúzott golyókat mindig visszatesszük, akkor az egy visszatevéses mintavétel.
A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.
Független események
Az $A$ és $B$ eseményt egymástól függetlennek nevezzük, ha teljesül rájuk, hogy
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Kizáró események
Az $A$ és $B$ eseményt kizárónak nevezünk, ha
\( A \cap B = \emptyset \)
Legyen az $A$ esemény, hogy páros számot dobunk, a $B$ esemény pedig, hogy 2-nél nagyobb számot dobunk dobókockával.
Adjuk meg az alábbi események valószínűségeit.
\( A, \; B, \; A\cup B, \; A\cap B, \; A\setminus B, \; \overline{A} \)
Van két dobókocka. Mennyi a valószínűsége, hogy...
a) mindkét dobókockával 1-est dobunk?
b) mindkét dobás egyforma?
c) különböző számokat dobunk?
d) a dobott pontok szorzata páros?
a) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász lesz?
b) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?
c) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?
d) Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán. Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?
e) Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán. Mia valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?
Két dobókockával egyszerre dobunk. Mi a valószínűsége, hogy
a) mindkét dobás páros?
b) legfeljebb az egyik dobás páros?
c) a dobott pontok szorzata páros?
d) a dobott pontok összege páros?
e) a dobott pontok összege legalább 10?
f) a dobott pontok szorzata 6?
a) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz mind az öt dobás 1-es?
b) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel nem lesz egyik dobás sem 1-es?
c) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy dobás 1-es?
d) Egy városban 0,2 a valószínűsége annak, hogy egyik nap esik az eső. Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten minden nap esik?
e) Egy vizsga 100 vizsgázóból átlag 26-nak nem sikerül. Egyik nap 12-en vizsgáznak. Mi a valószínűsége, hogy legalább egy vizsgázónak nem sikerül a vizsga?
a) Van egy dobókocka, aminek 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 pedig piros. Nézzük meg, mekkora a sansza, hogy 4 dobásból 2 sárga.
b) Van egy dobókocka, aminek 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 pedig piros. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 4 dobásból 1 piros.
c) Egy dobozban van 3 kék, 2 sárga és 1 piros labda. Kiveszünk a dobozból 4 labdát. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?
d) Egy dobókocka 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 oldala piros. Egymás után 4-szer dobunk a kockával. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?
e) Egy bárban 100-an vannak, közülük 60-an lányok. A vendégek közül kiválasztunk 10 embert. Mi a valószínűsége, hogy 7 lány?
f) Egy bárban a vendégek 60%-a lány. A vendégek közül kiválasztunk 10 embert. Mi a valószínűsége, hogy 7 lány?
a) Egy telefon biztonsági kódja 6 számjegyből áll és minden számjegy 0-9 bármi lehet. Mi a valószínűsége, hogy ha nem ismerjük a kódot, akkor elsőre kitaláljuk? A kódok hány százalékában szerepel az 1,2,3,4,5,6 számjegyek közül mindegyik?
b) Egy dominókészlet azonos méretű dominókból áll. Minden dominó egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma nem lehet egy készletben. Hány darabból áll egy dominókészlet?
a) Legyen az A esemény, hogy egy dobókockával párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Függetlenek-e ezek az események? Kizáróak-e?
b) Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik. Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása, a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?
c) Egy másik biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen. Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?
Egy dobókockával hatszor dobunk egymás után. Mi a valószínűsége, hogy
a) egyik dobás sem 1-es?
b) csak páros számokat dobunk?
c) mindegyik dobás különböző?
Egy 20 fős osztályba 8 fiú és 12 lány jár. Kiosztanak közöttük 10 mozijegyet. Mi a valószínűsége, hogy
a) ugyanannyi fiú kap mozijegyet, mint ahány lány?
b) csak lányok kapnak mozijegyet?
c) csak fiúk kapnak mozijegyet?
Egy síterepen az egyik felvonó végállomásától három sípálya indul. 20 napból a fekete pálya átlagosan 3 nap van zárva lavinaveszély miatt, a kék átlagosan 2 nap, míg a piros átlagosan 4 nap egymástól függetlenül. Mekkora a valószínűsége, hogy
a) mindhárom pálya nyitva van?
b) csak a kék pálya van zárva?
c) a piros pálya nyitva van?
d) legalább egy pálya nyitva van?
Egy üzlet a következő 20 napból 3 nap zárva tart. Kiválasztunk 5 napot, mi a valószínűsége, hogy 3 nap lesz nyitva?
Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag 12 nap szokott esni. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?
Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy
a) legfeljebb 2-en mennek át?
b) legalább 2-en mennek át?
A H halmaz az első 90 pozitív egész szám halmaza. H-ból véletlenszerűen kiválasztunk két különböző számot. Mi a valószínűsége, hogy a két kiválasztott szám egy derékszögű háromszög fokban mért valamelyik két szöge?
A fák egy részében megtelepedett a szú. Bármelyik fát kiválasztva 4% annak a valószínűsége, hogy van benne szú. Egy vásárló 50 fát vett. Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb egy szúrágta fa kerül a rakományba?
Egy dobozban több ezer érme van, amelyek 3%-a hibás. Az érmék közül véletlenszerűen kiválasztunk 80-at. (A kiválasztás visszatevéses mintavétellel is modellezhető.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb 2 hibás érme lesz a kiválasztott érmék között?
Az ötöslottón 90 darab golyóból húznak ki 5 darabot. A golyók 1-től 90-ig vannak számozva. Mi a valószínűsége, hogy
a) a legkisebb kihúzott szám a 64?
b) öt egymás utáni számot húznak ki?
c) csak páratlan számokat húznak ki?
d) a kihúzott számok szorzata kettőhatvány?
Itt röviden és érthetően elmeséljük a valószínűségszámítás alapjait. Megnézzük mik azok az elemi események, hogyan kell kiszámolni események valószínűségét. Események, Elemi események, Valószínűségek, Klasszikus valószínűségszámítás, Eseménytér. Szuper-érthetően elmeséljük, mikor független és mikor kizáró két esemény. Feladatokat is nézünk független és kizáró eseményekre. Függetlenség, Független események, Kizáró események, Eseményalgebra. Készítünk egyegészen szuper kombinatorikai összefoglalót is, amiből kiderül, mikor kell permutációval, mikor kell variációval és mikor kell kombinációval számolni. Ezek után sok-sok egy egészen szuper klasszikus valószínűségszámítás feladatokat találsz. Mindegyiket úgy oldjuk meg, hogy kiszámoljuk a kedvező esetek számát valamilyen remek kombinatorikai képlettel, aztán kiszámoljuk az összes eset számát szintén valami kombinatorikával, végül elosztjuk őket egymással. Kedvező/összes, Kombinatorika feladatok megoldással,valszám feladatok megoldással, permutáció, variáció, kombináció. Középiskolai matek felelevenítése.
Megismerkedünk a valószínűségszámítás alapjaival, hogy mik azok a valószínűségek, hogyan kell őket kiszámolni, megnézzük mi az a klasszikus valószínűség és, hogy még milyen nem klasszikus valószínűségek lehetnek. Kezdjük egy nagyon egyszerű dologgal. Ezek tulajdonképpen a középiskolás matematika tananyag összefoglalását és átismétlését jelentik. A középiskolás matek addig jut el, hogy klasszikus valószínűségszámítás a kedvező/összes módszerrel, illetve minimálisan érinti a függetlenség, kizáróság témáját. Mi a középiskolai matekot elég hamar magunk mögött hagyva egészen valószínűségszámítás feladatokkal fogunk majd foglalkozni. Kezdjük is. Van egy dobókockánk, dobunk vele egyszer és nézzük meg milyen események történhetnek.
Lehet, hogy 1-est dobunk.
Aztán az is lehet, hogy 2-est.
Aztán az is lehet, hogy mielőtt megállna a kocka egy meteorit csapódik a földbe és a kockával együtt az egész emberiséget elpusztítja.
Nos ebben az esetben a dobás érvénytelen. Mi most kezdetben csak azokkal a lehetőségekkel fogunk foglalkozni, amikor a dobás érvényes, vagyis a hat szám közül valamelyik.
Ezt klasszikus valószínűségszámításnak nevezzük és egy ideig ezzel fogunk foglalkozni, a meteoritok majd csak később jönnek.
Összesen tehát hat darab eset van. Ezeket az eseményeket elemi eseményeknek nevezzük.
Vannak olyan események is amik több elemi eseményből épülnek föl. Ilyen például az, hogy párosat dobunk.
Vagy, hogy 2-nél nagyobbat.
Az eseményeket az ABC nagy betűivel jelöljük.
Minden eseménynek van egy valószínűsége, amit úgy kapunk meg, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
Így aztán minden valószínűség egy 0 és 1 közti szám.
A meglévő eseményeinkből újabb eseményeket készíthetünk.
Lássuk mekkora ezeknek a valószínűsége.
Nos ezeket érdemes megjegyezni, most pedig folytassuk valami érdekesebbel.
Az A és B eseményt egymástól függetlennek nevezünk, ha teljesül rájuk, hogy
Az előző dobókockás példánkban az A esemény az volt, hogy párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Nézzük meg, hogy ezek függetlenek-e.
Ez jónak tűnik, úgyhogy az A és B események tehát függetlenek.
Itt van aztán egy C esemény is.
Nézzük meg, hogy vajon B és C függetlenek-e.
Hát nem.
Az A és B eseményt kizárónak nevezünk, ha
Nézzük meg mi a helyzet a példánkban szereplő eseményekkel.
Nos úgy látszik ezek nem kizárók.
A és C viszont kizárók.
Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik.
Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?
A két esemény akkor független, ha
Nos lássuk csak mennyi lehet .
A jelek szerint tehát nem függetlenek.
És egyébként nem is kizárók, mert
Egy másik biztosítónál az ügyfelek 80%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen.
Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?
Nos van egy ilyen, hogy
Tehát az ügyfelek 2/3-ának vagyis 66%-nak van lakásbiztosítása.
Ez igazán remek, most pedig folytassuk valami egészen érdekessel.
Fatal error: Allowed memory size of 201326592 bytes exhausted (tried to allocate 32 bytes) in /home/maths/public_html/live/includes/database/database.inc on line 2171
Megismerkedünk a valószínűségszámítás alapjaival, hogy mik azok a valószínűségek, hogyan kell őket kiszámolni, megnézzük mi az a klasszikus valószínűség és, hogy még milyen nem klasszikus valószínűségek lehetnek. A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését. A középiskolás matek addig jut el, hogy klasszikus valószínűségszámítás a kedvező/összes módszerrel, illetve minimálisan érinti a függetlenség, kizáróság témáját. Mi a középiskolai matekot elég hamar magunk mögött hagyva egészen valószínűségszámítás feladatokkal fogunk majd foglalkozni. Kezdjük is.A meglévő eseményeinkből újabb eseményeket készíthetünk.
Lássuk mekkora ezeknek a valószínűsége.
Nos ezeket érdemes megjegyezni, most pedig folytassuk valami érdekesebbel.
Az A és B eseményt egymástól függetlennek nevezünk, ha teljesül rájuk, hogy
Az előző dobókockás példánkban az A esemény az volt, hogy párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Nézzük meg, hogy ezek függetlenek-e.
Ez jónak tűnik, úgyhogy az A és B események tehát függetlenek.
Itt van aztán egy C esemény is.
Nézzük meg, hogy vajon B és C függetlenek-e.
Hát nem.
Az A és B eseményt kizárónak nevezünk, ha
Nézzük meg mi a helyzet a példánkban szereplő eseményekkel.
Nos úgy látszik ezek nem kizárók.
A és C viszont kizárók.
Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik.
Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?
A két esemény akkor független, ha
Nos lássuk csak mennyi lehet .
A jelek szerint tehát nem függetlenek.
És egyébként nem is kizárók, mert
Egy másik biztosítónál az ügyfelek 80%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen.
Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?
Nos van egy ilyen, hogy
Tehát az ügyfelek 2/3-ának vagyis 66%-nak van lakásbiztosítása.
Ez igazán remek, most pedig folytassuk valami egészen érdekessel.
Van egy dobókockánk, amivel egyszer dobunk. Az A esemény legyen az, hogy páratlant dobunk, a B esemény pedig az, hogy 3-nál nagyobbat.
Az A esemény valószínűségét a szokásos módon kapjuk meg.
Megszámoljuk hány esetben következik be és ezt elosztjuk az összes eset számával.
Eddig ebben nincsen semmi izgalmas.
Az izgalmak most jönnek.
Itt az ideje, hogy készítsünk egy rövid kombinatorikai összefoglalót. A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást és kombinatorikát. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését.
Van n darab elem
mindet kiválasztjuk
kiválasztunk közülük k darabot
a sorrend számít
a sorrend nem számít
PERMUTÁCIÓ
n darab különböző elem permutációinak száma n faktoriális:
mese:
Hányféleképpen ülhet le öt ember egymás mellé egy padon?
VARIÁCIÓ
n darab különböző elemből kiválasztott k darab elem permutációinak száma.
Hányféleképpen ülhet le öt ember közül három egymás mellé egy padon?
KOMBINÁCIÓ
n darab különböző elem közül kiválasztott k darab elem kombinációinak száma.
Hányféleképpen választhatunk ki öt ember közül hármat?
Ez mind nagyon szép. Most pedig lássunk néhány kombinatorika feladatot megoldással. Mindegyik feladat egyszerű középiskolai matek feladat, egyik sem nehezebb, mint amilyennel a matek érettségin találkozhatunk. Nekünk azért fontosak ezek a kombinatorika feladatok, mert sok izgalmas dolog épül majd az alap kombinatorikára és az alap középiskolai matek tudásra. Lássuk.
Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot.
Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász?
kedvező eset
összes eset
Kezdjük az összes esettel.
Az 52 lap közül választunk ki 5 darabot. A kérdés az, hogy számít-e a sorrend
vagy nem.
Mivel a szövegben ilyenek vannak, hogy első lap, meg harmadik lap, a jelek szerint számít a sorrend.
Most lássuk a kedvező eseteket.
Az első lap ász, ez négyféle lehet.
A következő lap elvileg bármi lehet a maradék 51 lapból.
Aztán a harmadik lapnak megint ásznak kell lennie.
Lássuk csak hány ász van még.
Fogalmunk sincs. Ha ugyanis a második helyre is ászt raktunk, akkor már csak kettő.
De ha a második helyre nem, akkor három.
Ez bizony probléma.
A kedvező eset számolásánál mindig a kívánsággal kell kezdeni.
Most tehát azzal, hogy az első lap ász és a harmadik lap is ász.
Utána jöhetnek a többi lapok.
Van még 50 darab lap a második helyre.
Aztán még 49 és 48.
Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?
Most is számít a sorrend.
Az összes eset ugyanannyi,mint az előbb.
Lássuk mi van a kedvezőkkel.
Megint a kívánsággal kezdünk.
De most csak ez a két ász van, tehát a második lap nem lehet ász.
Így csak 48 féle lehet.
Aztán 47 és 46.
Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?
Itt nem számít a sorrend ezért kombinációt használunk.
A 4 ászból ki kell húznunk kettőt.
Aztán pedig kell még 3 lap ami már nem ász.
Hát ez remek. Végül nézzünk meg még egy feladatot.
Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán.
Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?
A kiválasztás sorrendje nem számít, csak az, hogy kiket választunk a pályára.
Így aztán kombinációra lesz szükség.
Nézzük mennyi eset van összesen.
A 9 játékosból kell kiválasztanunk ötöt.
A kedvező amikor a két legjobb a pályán van, vagyis őket mindenképp kiválasztjuk,
és még hármat.
Mi a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?
Az összes eset itt is ugyanannyi.
A kedvező pedig amikor a két legjobb játékosból választunk egyet
és a többi tehetségtelen amatőr közül még négyet.
Két dobókockával egyszerre dobunk. Mi a valószínűsége, hogy
mindkét dobás páros?
legfeljebb az egyik dobás páros?
a dobott pontok szorzata páros?
a dobott pontok összege páros?
a dobott pontok összege legalább 10?
a dobott pontok szorzata 6?
Ha két kockával dobunk, akkor az egyik kockával is hatfélét tudunk dobni…
meg a másikkal is.
Az összes eset tehát 36.
Összes eset:
Most pedig lássuk a valószínűségeket.
egyik kocka: páros
másik kocka: páros
egyik kocka: páros
másik kocka: nem páros
vagy fordítva
vagy
mindkét dobás páratlan
A dobott pontok szorzata akkor lesz páros, ha mindkét dobás páros…
vagy pedig az egyik páros, a másik páratlan.
Végülis mindig páros lesz a szorzat, kivéve olyankor, amikor mindkét dobás páratlan.
Itt jön erre egy másik megoldás is.
Végülis mindig páros lesz a szorzat, kivéve olyankor, amikor mindkét dobás páratlan.
mindkettő
páratlan
Két szám összege akkor páros, ha mindkettő páros…
vagy mindkettő páratlan.
Lássuk, hogyan is lesz a pontok összege 10.
A kérdés úgy szól, hogy legalább 10, tehát az is jó, ha az összeg 11.
És az is jó, ha 12.
Ez hat darab lehetőség.
Nézzük, mikor lesz a szorzat 6.
Van itt ez a két doboz. Az egyikben 4 darab kártya van, a másikban pedig 5.
Véletlenszerűen húzunk mindkét dobozból egy-egy kártyát.
Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyákon lévő számok szorzata negatív?
Akkor lesz a szorzat negatív, ha az egyik kártyán pozitív szám van…
és a másikon negatív.
Vagy fordítva.
Az összes eset pedig…
Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyákon lévő számok összege páratlan?
Akkor lesz az összeg páratlan, ha az egyik kártyán páros szám van…
a másikon pedig páratlan.
Vagy fordítva.
Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz mind az öt dobás 1-es?
Annak a valószínűsége, hogy egy dobás 1-es:
Ha van még egy 1-es, akkor ennek az esélye szintén
A két 1-es egyszerre pedig:
A dobások egymástól függetlenek és ilyenkor a valószínűségeket össze kell szorozni.
Aztán, ha dobunk még egy 1-est…
Annak a sansza, hogy mind az öt dobás 1-es:
Most nézzük, mi a valószínűsége annak, hogy öt kockával dobva egyik dobás sem 1-es.
Ez annak a valószínűsége, hogy egy dobás nem 1-es.
Aztán a következő dobás sem 1-es…
és egyik sem.
Végül számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy öt kockával dobva legalább egy dobás 1-es.
Ez azt jelenti, hogy vagy egy darab 1-es van…
vagy két darab…
vagy három, vagy négy, vagy öt.
Ezt így külön-külön kiszámolni eléggé sok szenvedéssel járna.
Aki nem annyira szeret szenvedni, jegyezze meg, hogy
Hát, ennyit a kockákról.
Egy városban 0,2 a valószínűsége annak, hogy egy nap esik az eső. Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten mindennap esik?
Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten egyik nap sem esik?
Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten legalább egy nap esik?
Egy vizsga 100 vizsgázóból átlag 26-nak nem sikerül. Egyik nap 12-en vizsgáznak. Mi a valószínűsége, hogy legalább egy vizsgázónak nem sikerül a vizsga?
Itt van például Bob.
Nézzük, mekkora a valószínűsége, hogy nem sikerül a vizsgája.
Annak a sansza pedig, hogy sikerül…
Most pedig jön a szokásos trükk:
