- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Algebra, betűs kifejezések használata
Műveleti sorrend
Ha több művelet szerepel egymás után, akkor ezeket a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk.
A műveleti sorrendben az első mindig a zárójel, vagyis a zárójelben szereplő műveleteket kell elsőként elvégezni.
A második a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.
Végül az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.
A hatványozás még egy kicsit bezavarhat a dologba, így érdemes megnézni külön a hatványozásról és a hatványazonosságokról szóló epizódokat is.
Most pedig nézzünk egy példát a műveleti sorrendre:
Pl.: $3\cdot (5-3)+2:2=3\cdot 2 +2:2 = 6 +1 = 7 $
Együttható
Az együttható a betűs kifejezés előtt álló szám.
Pl.: $3x$ kifejezés együtthatója $3$.
Változó
Az algebrai kifejezésekben a betűket változóknak nevezzük.
Pl.: $2x+y$ algebrai kifejezésben $x$ és $y$ változók.
Algebrai kifejezés
A betűs kifejezéseket nevezzük algebrai kifejezéseknek.
Pl.: $2x+y$ egy algebrai kifejezés.
Konstans
Az önmagában álló számokat nevezzük konstansnak.
Pl. $2x+y+5$ kifejezésben az $5$ konstans.
Egynemű kifejezések
Egynemű kifejezések azok a betűs kifejezések, amik csak az együtthatójukban különböznek.
pl.: $5x$ és $3x$ egynemű kifejezések, mert csak az együtthatóik ($5$ és $3$) különböznek.
Egynemű kifejezések összevonása
Az egynemű kifejezések mindig összevonhatóak. Az összevont kifejezés együtthatója az eredeti együtthatók összege lesz.
Pl.: $3x+5x+2x=(3+5+2)x=10x$
Zárójelfelbontás
Zárójel felbontásakor minden tagot minden taggal szorozni kell.
Pl.: $5\cdot(4x+6)=5\cdot 4x + 5\cdot 6 =20x+30$
Kiemelés
A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.
A dolog úgy indul, hogy találnunk kell egy közös részt, amit kiemelhetünk.
A kiemelés során egy többtagú kifejezést egy vagy többtagú kifejezések szorzatává alakítjuk át úgy, hogy minden tagból kiemeljük a közös részeket.
Törtek egyszerűsítése
A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla számmal osztjuk. Ha nincs olyan szám, amivel mind a számláló és a nevező is osztható lenne, akkor már nem egyszerűsíthető tovább a tört.
Algebrai tört
Algebrai törteknek nevezzük azokat a törteket, melyek nevezőjében betűs kifejezés van.
Tehát ha csak a tört számlálójában van betűs kifejezés (pl. $x$), de a nevezőjében nem, akkor az még nem algebrai tört.
Többtagú betűs kifejezések szorzása
Zárójel felbontásakor minden tagot minden taggal szorozni kell.
Ha a szorzás mindkét tényezője többtagú, akkor az első tényező első tagjával szorozzuk végig a másik tényező tagjait, majd pedig folytatjuk az első tényező második tagjával.
Pl.: $(a+b)\cdot (c-5)=a\cdot c -5 \cdot a + b \cdot c - 5\cdot b $
Helyettesítési érték
A helyettesítési érték azt jelenti, hogy a betűs kifejezés helyére írjuk be a behelyettesítendő értéket.
Pl.: $2x+5$ kifejezés helyettesítési értéke $x=3$-ban: $2\cdot 3 +5 = 6+5=11$.
Számoljuk ki ezeket:
a) $7-4+2= $
b) $7-(4+2) = $
c) $7-2\cdot 3 =$
d) $5+4\cdot 3 + 2 = $
e) $5+ 4 \cdot (3+2) = $
f) $6+2+3\cdot 4 = $
g) $6+(2+3)\cdot 4 = $
h) $6\cdot 2 + 3 + 4 = $
i) $6 \cdot (2+3) + 4 = $
j) $7+7:7+7\cdot 7-7=$
k) $12:2\cdot 3 = $
l) $12:(2\cdot 3 ) = $
m) $8:2\cdot (2+2) = $
Vonjuk össze az egynemű kifejezéseket:
a) $3x+7+5x=$
b) $3x-5x+4x=$
c) $x+8+4x+3=$
d) $4x+5a-3x+5-2a=$
e) $\frac{3}{4}a-2b+3a+\frac{5}{3}b-2a=$
a) Egy hídon $a$ darab autó, $b$ darab busz és $k$ darab kamion megy át.
Az autók 3, a buszok 16, és a kamionok 40 tonnásak.
Adjuk meg egy betűs kifejezéssel, hogy milyen nehéz az összes autó, busz és kamion együttvéve.
Egy alkalommal 8 autó, 4 busz és 5 kamion volt a hídon. Milyen nehezek voltak összesen?
Egy másik alkalommal 12 autó és 4 kamion ment át a hídon. Milyen nehezek voltak összesen?
b) Helyettesítsünk $x$ helyére 10-et és $y$ helyére 3-at.
\( \frac{3}{4}x+2y+2x-\frac{5}{6}y= \)
c) Mennyi lesz ennek a kifejezésnek az értéke, ha $x=\frac{3}{4}$?
\( 3x-7+5x+1= \)
Bontsuk fel a zárójelet és vonjunk össze mindent, amit csak lehet:
a) $5 \cdot (4x+6) = $
b) $7 \cdot (3a+8) = $
c) $3\cdot (4x+6)+2x-10 = $
d) $4\cdot (3x+2)+5\cdot (2x-1)= $
Bontsuk fel a zárójelet és vonjunk össze mindent, amit csak lehet:
a) $6\cdot (4x+3)=$
b) $x\cdot (4x+3)=$
c) $y \cdot (2x+3y+4)=$
d) $y \cdot (4x-5y-16)=4xy-5y^2-16y$
e) $a\cdot (-2x-3ax-12)=$
f) $3x \cdot (x-4y-10)=$
g) $(-4x) \cdot (-3x-5a+2) = $
Emeljünk ki:
a) $3x+30=$
b) $4x+12=$
c) $12x+20=$
d) $xy+5x=$
e) $xy-x=x\cdot y- x$
f) $x^2-4x=$
g) $x^2y+12xy = $
h) $20ax-12ax^2=$
i) $9x-12a-3y=$
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{3x^2-5x^4}{x^5-5x^4} \)
b) \( \frac{a^2x^3-a^3b^2}{a^5-x^4a^3} \)
c) \( \frac{a^3x^4-a^2b^2x^3}{a^5x^2-x^4a^3} \)
Bontsuk fel a zárójelet és vonjunk össze mindent, amit csak lehet:
a) $y\cdot (4x-3y-5)=$
b) $(x+y)\cdot (4x-3y-5)=$
c) $(4x-y)\cdot (3x-a)=$
d) $\left( x^2-2a \right)\cdot (3x-4a+4x)=$
a) Számítsuk ki a helyettesítési értéket, ha $x=4$ és $a=3$.
$x^2 (a-3)+ax+a^2x-2a$
b) Számítsuk ki a helyettesítési értéket, ha $x=576$ és $y=6$.
$\frac{x^3-x^2y}{x^2y^2+4x^2}$
c) Egy vasúti alagút építési költsége függ az alagút hosszától, hogy milyen mélyen megy, és attól is, hogy egymás mellett hány csövet építenek. Az alagút hosszát $x$ jelöli kilométerben, a mélységét $y$ jelöli méterben, a csövek számát pedig $z$.
Az alagút várható építési költsége:
$\frac{x^2}{100}+96xz+\frac{xy+y^2}{1000}$ millió svájci frank
Várhatóan mekkora lesz az építési költsége egy 34 kilométer hosszú kétcsöves alagútnak, amely 600 méter mélyen megy? Mennyivel lenne olcsóbb, ha csak egycsövü lenne?
Vonjuk össze az egynemű kifejezéseket:
a) $2xy-2x+2y+5xy+3x+2y+8=$
b) $a^2+2ab+3a+5b-3a^2+3ab-2a-3b=$
c) $4ab+4a-5b-3b^2+5ab-2a+3b+5b^2=$
Ez itt egy algebrai kifejezés:
Ezeket a számokat együtthatónak hívjuk…
Itt az x és az a valamilyen számokat jelöl.
Az x-et és az a-t pedig a változónak.
Algebrai kifejezések szereplői
együtthatók
változók
kitevő
Ezek itt az együtthatók…
És ezek a változók.
És itt jön két tipikus hiba…
Az együtthatókat mindig előjellel együtt kell nézni…
Itt az együttható –2…
Ez a – 16 itt pedig nem együttható.
Mert nincs mögötte változó.
Ezt úgy hívjuk, hogy konstans tag.
És most nézzük az egynemű kifejezéseket.
Ilyenből, hogy xy nincs több…
Van külön x és külön y, de azokkal ez nem vonható össze.
Hát jó, akkor ennyit erről…
Ugorjunk…
Úgy tűnik, ezzel sem tudunk mit kezdeni, mert a nem bukkan fel máshol.
Nézzük az x-eket…
Na, ebből végre még van máshol is.
Vonjuk is őket össze.
És úgy tűnik ennyi…
Mást nem tudunk összevonni.
De van valami, ami még ennél is izgalmasabb…
Nézzük meg, hogyan lehet összevonni az egynemű kifejezéseket.
És ezeket hívjuk egyneműeknek.
Amik csak az együtthatójukban különböznek.
És ezeket lazán össze is tudjuk vonni…
Össze is vontunk mindent, amit lehet.
Lássuk, miket vonhatnánk össze itt:
Azokat hívjuk egynemű kifejezésnek, amik csak az együtthatójukban különböznek.
És ezeket lazán össze is tudjuk vonni…
Ezt hívjuk összevonásnak.
Vonjuk össze itt is az egynemű kifejezéseket.
Az együttható és a konstans tag között tehát az a különbség, hogy a konstans tag egyedül álldogál, az együttható pedig be van szorozva valamilyen változóval. Vagyis valamilyen betűs kifejezéssel.
Az egynemű betűs kifejezéseket úgy lehet a legjobban összevonni, ha megnézzük mindegyiknek külön-külön az együtthatóját.
Egy hídon a darab autó, b darab busz és k darab kamion megy át.
Az autók 3 tonnásak…
A buszok 16 tonnásak…
És a teherautók 40 tonnásak.
3 tonna
16 tonna
Adjuk meg egy betűs kifejezéssel, hogy milyen nehéz az összes autó, busz és kamion együttvéve.
Egy darab autó 3 tonna…
Két darab autó már kétszer annyi…
És a darab autó a-szor annyi.
Aztán jön még a b darab busz…
És a k darab kamion.
Ez a képlet adja meg, hogy milyen nehéz az a darab autó, b darab busz és k darab kamion.
Egy alkalommal x autó y busz és z kamion volt a hídon.
Milyen nehezek voltak együttvéve
A változók helyére behelyettesítünk…
És meg is van.
Egy másik alkalommal 12 autó és 4 kamion ment át a hídon.
Megint behelyettesítünk…
Busz az most nincs…
Itt jön egy újabb betűs kifejezés…
Hidak nélkül…
Helyettesítsünk x helyére 4-et és y helyére 3-at.
Egy kis összevonással kezdjük…
És most jöhet a behelyettesítés.
És talán még egy nem árthat meg…
Mennyi lesz ennek a kifejezésnek az értéke, ha
Hát, ennyit a behelyettesítésről.
Az összevonásnál csak egy izgalmasabb dolog van…
Az összevonás zárójelfelbontással.
A zárójelfelbontás meg is van.
Ez a zárójel azt jelenti, hogy 5-tel megszorozzuk a 4x-et és a 6-ot is.
És kész is a zárójelfelbontás.
Már csak az a kérdés, hogy ez mire jó…
A válasz az, hogy ez így semmire.
Ez olyan, mint egy telefontöltő telefon nélkül.
De ha van egy telefonunk is…
Na, akkor már elég bosszantó tud lenni, amikor nincs meg a töltő.
A különbség talán annyi, hogy a telefontöltőt nem szoktuk hónapokkal a telefon előtt megvenni…
Úgyhogy nincs mit tenni, nézzünk még néhány zárójelfelbontást.
Ez is megvan.
És az izgalmak még csak most jönnek…
Bontsuk föl a zárójelet és aztán vonjunk össze amit lehet:
És most jöhet az összevonás.
Kész is.
Ez volt az eredeti kifejezés…
És ez lett belőle összevonás után.
Nézzünk meg még egyet…
Ez itt azt jelenti, hogy 3-mal megszorozzuk a 4x-et és a 6-ot is.
A zárójelfelbontás nem túl izgalmas dolog…
Csak beszorzunk, és kész is.
És most nézzük, mi történik, ha x-el szorzunk…
Hűha, ez már érdekesebb lesz…
Azért ennyire nem…
Amikor elkezdünk szorozgatni…
Lesz egy olyan tag, amikor x-et szorzunk x-el.
Ezt mindig úgy szokás írni, hogy az x hátul legyen…
És aztán folytatjuk a zárójel felbontását…
Ezt is úgy kell írni, hogy az x hátul legyen…
És a szorzásjelet nem is kell kitenni.
De a legjobb dolog csak most jön.
Megjelent az x2…
Ezt a számot itt kitevőnek hívjuk…
Ez egy másodfokú kifejezés.
Hogyha lenne benne, mondjuk x3 is…
Akkor harmadfokú lenne.
A dolog még izgalmasabb lesz, ha jön egy y is…
Bontsuk föl ezt a zárójelet is:
Meg is van a zárójelfelbontás.
Nem is olyan rémesek ezek a zárójelfelbontások…
És egy kis trükk segítségével még gyorsíthatunk is:
És most nézzük, miért rettegnek olyan soka a kiemeléstől…
A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.
Ez egy zárójelfelbontás…
És ez pedig a kiemelés:
sélemeik a gidep ze sé
Vagy legalábbis majdnem…
A kiemelés azt csinálja, hogy átalakítja ezt egy szorzattá.
A dolog úgy indul, hogy kell találnunk egy számot, amit kiemelhetünk.
A 3 például jó is lesz…
És aztán hopp, kiemeljük.
Kész is a kiemelés.
Ha most beszorzunk 3-mal és felbontjuk a zárójelet, akkor visszakapjuk, hogy 3x+30.
Az egész ilyen egyszerű.
De akkor miért rettegnek tőle mégis olyan sokan?
Mindjárt meglátjuk…
Emeljünk ki itt is:
Azzal kezdjük, hogy megnézzük, mit lehetne kiemelni.
Ki tudunk emelni, mondjuk 4-et.
És, hogy mi a nehéz a kiemelésben?
Az a nehéz benne, hogy rájöjjünk, mit lehet kiemelni.
Nézzük meg ezt:
A 12-t például nem igazán lehet kiemelni…
Mert így hirtelen nehezen tudunk olyan számot mondani, amit 12-vel megszorozva 20-at kapunk.
Ha mégis rájövünk, hogy ez az:
Hát ez így még rosszabb…
Valami olyan számot kellene kiemelni, ami a 4x-ben és a 20-ban is megvan.
Kiemelni nem csak számokat lehet…
Itt mindkét tagban van x…
Úgyhogy emeljünk ki x-et.
Ilyenkor ezt a magányosan álldogáló x-et képzeljük el úgy, hogy 1x.
És mehet a kiemelés.
Vannak aztán olyan esetek is, amikor több dolgot is ki tudunk emelni…
Ki lehet emelni például y-t.
De ebből még ki lehet emelni x-et is.
Minél több dolgot emelünk ki, annál jobb.
De vannak helyzetek, amikor be kell érni kevéssel is.
Így hirtelen úgy néz ki, hogy itt nem is lehet semmit kiemelni…
De a 3-at azért talán mégis ki lehet…
A zárójelfelbontást már ismerjük…
És most itt az ideje szintet lépni…
Nézzük, mi történik, hogyha nem simán y-nal szorzunk…
Hanem ezzel.
Ezt úgy hívjuk, hogy többtagú kifejezések szorzása.
Mert itt is két tag van…
Itt meg ráadásul három.
Hát, ez így elsőre nem néz ki túl jól…
De valójában ugyanazt kell csinálni, mint eddig.
Csak most kétszer.
Kezdjük az elején…
Aztán ugyanezt megcsináljuk az y-nal is.
És még egy kicsit rendet rakunk…
Kezdjük azzal, hogy ezeket összevonjuk…
Meg is van a zárójelfelbontás.
Nem is olyan rémesek ezek a zárójelfelbontások…
És egy kis trükk segítségével még gyorsíthatunk is:
Ez itt egy algebrai kifejezés:
Ezeket a számokat együtthatónak hívjuk…
Itt az x és az a valamilyen számokat jelöl.
Az x-et és az a-t pedig a változónak.
Algebrai kifejezések szereplői
együtthatók
változók
kitevő
Ezek itt az együtthatók…
És ezek a változók.
És itt jön két tipikus hiba…
Az együtthatókat mindig előjellel együtt kell nézni…
Itt az együttható –2…
Ez a – 16 itt pedig nem együttható.
Mert nincs mögötte változó.
Ezt úgy hívjuk, hogy konstans tag.
És most nézzük az egynemű kifejezéseket.
Ilyenből, hogy xy nincs több…
Van külön x és külön y, de azokkal ez nem vonható össze.
Hát jó, akkor ennyit erről…
Ugorjunk…
Úgy tűnik, ezzel sem tudunk mit kezdeni, mert a nem bukkan fel máshol.
Nézzük az x-eket…
Na, ebből végre még van máshol is.
Vonjuk is őket össze.
És úgy tűnik ennyi…
Mást nem tudunk összevonni.
De van valami, ami még ennél is izgalmasabb…
Nézzük meg, hogyan lehet összevonni az egynemű kifejezéseket.
És ezeket hívjuk egyneműeknek.
Amik csak az együtthatójukban különböznek.
És ezeket lazán össze is tudjuk vonni…
Össze is vontunk mindent, amit lehet.
Lássuk, miket vonhatnánk össze itt:
Azokat hívjuk egynemű kifejezésnek, amik csak az együtthatójukban különböznek.
És ezeket lazán össze is tudjuk vonni…
Ezt hívjuk összevonásnak.
Vonjuk össze itt is az egynemű kifejezéseket.
Számítsuk ki a helyettesítési értéket, ha x=4 és a=3.
Csak be kell helyettesíteni, és kész is…
Meg is van a helyettesítési érték.
Számoljuk ki a helyettesítési értéket, ha .
Itt is csak be kell helyettesíteni…
De egyszerűbb lesz behelyettesíteni, ha előtte egyszerűbb alakra hozunk.
És most jöhet a behelyettesítés.
jobban járunk, ha először egy kicsit egyszerűbb alakra hozunk.
Meg is van a helyettesítési érték.
Várhatóan mekkora lesz az építési költsége egy 34 kilométer hosszú kétcsövű alagútnak, amely 600 méter mélyen megy?
Mennyivel lenne olcsóbb, ha csak egycsövű lenne?
Derítsük ki, hogy mennyi x, y és z.
És most helyettesítsünk be.
Egy hídon a darab autó, b darab busz és k darab kamion megy át.
Végül nézzük, mennyivel lenne olcsóbb az egycsövű alagút…
3264 millió svájci frankkal lenne olcsóbb.
Az autók 3 tonnásak…
A buszok 16 tonnásak…
És a teherautók 40 tonnásak.
3 tonna
16 tonna
Adjuk meg egy betűs kifejezéssel, hogy milyen nehéz az összes autó, busz és kamion együttvéve.
Egy darab autó 3 tonna…
Két darab autó már kétszer annyi…
És a darab autó a-szor annyi.
Aztán jön még a b darab busz…
És a k darab kamion.
Ez a képlet adja meg, hogy milyen nehéz az a darab autó, b darab busz és k darab kamion.
Egy alkalommal x autó y busz és z kamion volt a hídon.
Milyen nehezek voltak együttvéve
A változók helyére behelyettesítünk…
És meg is van.
Egy másik alkalommal 12 autó és 4 kamion ment át a hídon.
Megint behelyettesítünk…
