Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

MIÉRT TALÁLTÁK KI A LOGARITMUST ÉS MIRE LEHET HASZNÁLNI?

Johannes Kepler jött rá arra, hogy a bolygók pályája nem kör, hanem ellipszis alakú, és egyik fókuszában helyezkedik el a Nap. A rendkívül jó matematikai érzékkel megáldott Keplernek a bolygók pályáit pontosan fölvázoló képletei, az úgynevezett Kepler-törvények tették lehetővé először a Földet körülvevő égitestek mozgásának precíz leírását.

Itt most álljunk meg egy pillanatra, és gondoljunk bele abba, hogy vajon hogyan volt képes az 1600-as évek elején Kepler precízen kiszámolni a Mars pályáját az akkor rendelkezésre álló kezdetleges eszközeivel. Ezeknek a pályaelemeknek a számítása ma természetesen számítógépek segítségével történik, és bizony a mai technikával is meglehetősen bonyolult feladat. Most próbáljuk meg elképzelni, hogy mennyire körülményes feladatlenne mindezt egy iskolai zsebszámológép segítségével kiszámítani. Gondot okozna a számítások mennyisége, a részeredmények tárolása, illetve a számítások pontossága is. Ennél már csak az okozna nagyobb gondot, ha mindehhez még a zsebszámológépet sem használhatnánk. Bizonyára mindenki próbált már többjegyű számokat számológép nélkül papíron osztani és szorozni, és alighanem szinte mindenki arra a következtetésre jutott, hogy számológép nélkül ezeknek a számításoknak az elvégzése rettenetesen nagy erőfeszítéseket igényel. Amikor megállapítjuk, hogy Kepler jó matematikai érzékkel ráérzett az ellipszispályára, nos, akkor valahogy nem képzeljük mögé azt a rengeteg szenvedést és fáradozást, amelyet a napokig, hetekig, hónapokig tartó küzdelmes számítások rettenetes egyhangúsága és sivársága okozott.

Egyetlen reménysugár ebben az elkeseredett küzdelemben, a vég nélküli monoton számolások szörnyű labirintusában egy skót teológus érdekes felfedezése volt. John Napier kedvtelésből foglalkozott matematikával, és saját bevallása szerint sajnos mindig nehezen szakított rá időt. Matematikai jellegű kutatásainak célja elsősorban a különféle számítások megkönnyítését segítő módszerek felfedezése volt, és az 1500-as évek végén talált is valami egészen érdekeset. Ahhoz, hogy jobban megértsük Napier találmányát, nézzünk meg először egy trükköt, amely az összeadás és kivonás elvégzését egyszerűsíti le.
A trükk igazán nem bonyolult, mindössze két vonalzóra van hozzá szükség. Tegyük fel, hogy szeretnénk kiszámolni, mennyi 28 + 13. A trükk lényege, hogy ezt bármiféle gondolkodás nélkül teljesen mechanikusan is megtehetjük. Mindössze annyit kell tennünk, hogy az egyik vonalzón megkeressük a 28-at, majd fogjuk a második vonalzót, annak nulla pontját az első vonalzón a 28-hoz csúsztatjuk, aztán megkeressük a második vonalzón a 13-at. Az összeadás végeredménye az első vonalzón olvasható le a második vonalzón szereplő 13-as szám alatt.

Ezen az elven tetszőlegesen nagy számok összeadása és kivonása elvégezhető mechanikusan, mindössze kellően hosszú vonalzóra van hozzá szükség. Több vonalzó beiktatásával és a nagyságrendek figyelésével pedig elérhető, hogy egészen nagy számokhoz is elegendő legyen 100 egység hosszú vonalzók használata. Pontosan ezen az elven alapult Napier elképzelése is, csak éppen az ő ötlete a jóval nagyobb erőfeszítéseket igénylő szorzások és osztások kiszámítására volt használható. Napier feltalálta a logaritmust.
A működési elv itt egy kicsit bonyolultabb, de elegendő most annyit tudnunk, hogy két szám szorzásánál a logaritmusaik összeadódnak, az osztásnál pedig kivonódnak, így a logaritmus beiktatásával az előbb látott egyszerű összeadós és kivonós módszerre vezette vissza Napier a szorzások és osztások problémáját. Napier ötletét és az elcsúsztatható vonalzók elvét felhasználva alkották meg nem sokkal később az első logarlécet, ami az 1620-as évektől egészen az 1970-es évekig az emberiség egyik kulcsfontosságú tudományos számolóeszköze volt. 350 évnyi folyamatos használatával a logarléc minden idők legtovább forgalomban lévő számológépe. A logarlécet folyamatos tökéletesítése és számolási funkcióinak bővítése olyan praktikus eszközzé tette, hogy még az 1900-as évek közepén is igen népszerű volt a használata, és csak az 1970-es években megjelenő zsebszámológépek elterjedésével vesztett jelentőségéből.

A logaritmus felfedezése azonban nem csak a logarléc feltalálása miatt volt fontos. Olyan alapvető eszköze a matematikának, mint a versírásnak a keresztrím, vagy éppen a nagy történelmi hadjáratokban az ágyú. Mivel pedig mindenki tudja, hogy mi az a keresztrím, és feltehetőleg azt is mindenki tudja, hogy mi az az ágyú, így elkerülhetetlenül eljött az idő, hogy azt is megtudjuk, mi az a logaritmus.
Ehhez néhány nagyon egyszerű dologra lesz csak szükség. Például arra, hogy 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8. És még arra, hogy ezt a matematikában úgy tudjuk egyszerűbben leírni, hogy 2³ = 8. Vagy éppen 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16, amit egyszerűbben úgy írunk, hogy 2⁴ = 16. Mindezt pedig úgy mondjuk, hogy kettő a negyediken egyenlő tizenhat. Ez a bizonyos 4-es a 2-nek a kitevője. A kitevő azt mondja meg, hogy hányszor kell egymás után megszorozni a 2-est önmagával. 2⁶ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2, vagyis 6 darab 2-es egymás után. Most, hogy ezeken túlvagyunk, már csak egyetlen apróság van hátra. Ha kíváncsiak vagyunk rá, hogy 2-nek hányadik hatványa a 8, akkor erre a kérdésre ad választ a logaritmus. Az a kifejezés, hogy log₂8, azt mondja meg nekünk, hogy a 2-nek hányadik hatványa a 8. Mivel pedig 2³ = 8, ezért ez a szám nem lehet más, mint a 3, vagyis log₂8 = 3. Nézzünk gyorsan még egy példát, mert valóban elég hihetetlenül hangzik, hogy ez ennyire egyszerű.
Lássuk például, hogy mennyi log₃9. Ez megint egy kitevő, amely azt árulja el nekünk, hogy a 3-nak hányadik hatványa a 9. Lássuk csak 3² = 9, vagyis a kitevő 2, és így log₃9 = 2. A logaritmus tehát nem más, mint egy kitevő-kalkulátor. Ezek után már bárki képes megmondani, hogy mennyi lehet vajon log₂16. Ez mindössze azt a számot jelenti, hogy 2^szám = 16. Korábban néztük, hogy 2⁴ = 16, így ez a szám a 4. Vagyis log₂16 = 4.