- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Számelmélet, számrendszerek
Oszthatóság
Az $a$ egész számnak a $b$ egész szám osztója, ha létezik olyan $q$ egész szám, hogy $a=b \cdot q$.
Maradékos osztás
Legyenek $a$ és $b$ természetes számok. Ekkor felírhatók
$a=q \cdot b + r \qquad 0<r<b$
Ahol $q$ és $r$ is természetes számok és $q$ az osztás hányadosa, $r$ pedig a maradék.
2-vel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 2-vel, ha páros, azaz 0, 2, 4, 6, vagy 8-ra végződik.
3-mal oszthatóság
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal.
4-gyel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két jegyéből alkottot szám osztható 4-gyel.
5-tel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.
6-tal oszthatóság
6-tal azok a számok oszthatók, amik 2-vel és 3-mal is oszthatók.
Ezek éppen a 3-mal osztható páros számok.
9-cel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel.
10-zel oszthatóság
10-zel azok a számok oszthatók, amik 0-ra végződnek.
11-gyel oszthatóság
11-gyel akkor osztható egy szám, ha hátulról kezdve $+-+- \dots$ előjelekkel összeadjuk a számjegyeket, akkor az így kapott szám osztható 11-gyel.
Legnagyobb közös osztó
Az $a$ és $b$ szám legnagyobb közös osztója az a $d$ pozitív szám, amire $ d \mid a$ és $d\mid b$, és e közös osztók közül ez a legnagyobb.
Jelölés: $d=(a,b)$
Néhány oszthatósági szabály
Ha $ a \mid c$ és $ b \mid c$ és $(a,b)=1$ akkor $ab \mid c$
Ha $c \mid ab$ és $(a,c)=1$ akkor $c \mid b$
Prímek
Azokat az 1-től különböző pozitív egész számokat, amelyeknek az 1-en és önmagukon kívül nincsen más pozitív egész osztója, prímeknek nevezzük.
Szemléletesen a prímek az egész számok építőkockái. Vagyis a prímek segítségével tudjuk felépíteni az egész számokat. A 60 például így épül föl, hogy:
$ 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 $
Itt a 2, a 3 és az 5 is prím, mert ezek már nem bonthatók kisebb építőkockákra. Az 1-et pedig azért nem tekintjük prímnek, mert a számok felépítésében nem sok hasznát vesszük, hiszen $ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $
A legkisebb prím tehát a 2, és ez az egyetlen páros szám amelyik prím, hiszen az összes többi páros szám már osztható 2-vel. A 2 után következő prím a 3, aztán az 5, és a 7. A prímeket egy speciális módszerrel nagyon könnyű kiválogatni az egész számok közül. Ezt a módszert úgy hívják, hogy Eratoszthenész szitája és meg tudod nézni itt a kapcsolódó epizódban.
Számelmélet alaptétele
A nullától és az egytől különböző összes $n$ pozitív egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől eltekintve egyértelműen.
$ n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k}$ ahol $k\in Z^{+}$
Itt $k$ a felbontásban szereplő különböző prímek száma.
Legkisebb közös többszörös (LKKT)
A legkisebb közös többszörös megtalálásának lépései:
- Elkészítjük a prímtényezős felbontást
- Vesszük az összes prímet a két prímtényezős felbontásból
- Mindegyik prím a nagyobbik kitevőt kapja.
Átváltás tizes számrendszerbe
A tizes számrendszerbe való átváltás lépései:
- Elkészítjük a helyiérték-táblázatot (a helyiértékek mindig a számrendszer számának hatványai).
- Oszloponként összeszorozzuk a helyiértéket a számjeggyel és összeadjuk ezeket.
Átváltás tizesből kettes számrendszerbe
A kettes számrendszerbe átváltáshoz elkezdjük a számot 2-vel maradékosan osztogatni, amíg már csak a 0 marad. Ezt követően pedig a maradékokat lentről felfelé visszaolvasva kapjuk meg a kettes számrendszerbeli számot.
a) Osztható-e 3-mal az 5728 és a 4758?
b) Osztható-e 4-gyel az 52742 és a 61524?
c) Osztható-e 6-tal a 3714?
d) Osztható-e 9-cel a 4326 és a 4257?
e) Osztható-e 11-gyel a 3718
a) Számoljuk ki a 108 és a 360 legnagyobb közös osztóját.
b) Számoljuk ki a 37 800 és 39 600 számok legnagyobb közös osztóját.
a) Számoljuk ki a 108 és 360 legkisebb közös többszörösét.
b) Számoljuk ki a 37 800 és a 39 600 számok legkisebb közös többszörösét.
a) Váltsuk át az ötös számrendszerbeli $402_5$ számot tizes számrendszerbe.
b) Váltsuk át az $A1E_{16}$ tizenhatos számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
a) Váltsuk át a 178 tizes számrendszerbeli számot kettes számrendszerbe.
b) Váltsuk át a 178 tizes számrendszerbeli számot ötös számrendszerbe.
a) Váltsuk át az $101101_2$ kettes számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
b) Váltsuk át az $5062_7$ hetes számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
c) Váltsuk át a $121$ tizes számrendszerbeli számot kettes számrendszerbe.
a) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor legalább az egyik befogó mérőszáma páros.
b) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor az egyik befogó mérőszáma osztható 3-mal.
c) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor van köztük legalább egy öttel osztható.
d) Igazoljuk, hogy bármely páratlan szám négyzetéből 1-et elvéve 8-cal osztható számot kapunk.
a) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan szám, akkor 9 osztója \( 11^n + 7^n \)-nek.
b) Milyen \( n \) természetes szám esetén osztható az alábbi kifejezés 16-tal?
\( 17^n + n\)
c) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan, akkor 37 osztója az alábbi kifejezésnek.
\( 1+2^{19} + 3^{19}+4^{19}+\dots + 36^{19} \)
Váltsuk át az $536_7$ hetes számrendszerbeli számot nyolcas számrendszerbe.
Itt mindent megtudhatsz az oszthatóságról. Megnézzük, hogy mi az osztó, az osztási maradék, mikor osztható két szám egymással. Aztán jönnek az oszthatósági szabályok, a 2-vel, 3-mal és 4-gyel való oszthatósági szabály. Az nagyon könnyű, hogy egy szám mikor osztható 5-tel, de aztán azt is megnézzük, hogy milyen szabály van a 6-tal, 8-cal, 9-cel és 11-gyel való oszthatóságra. Megnézzük, hogy mit jelent két szám legnagyobb közös osztója, és azt is, hogyan lehet kiszámolni. Kiderül, hogy mik azok a relatív prímek és azt is megnézzük, hogy mik azok a prímek. Mi a prímszám definíciója? Na és mire jók egyáltalán a prímek? Hogyan lehet eldönteni egy számról, hogy prímszám-e vagy sem? Ezekre a kérdésekre válaszolunk szuper-érthetően.