Vegyes emelt szintű feladatok

1. Egy sorsjegyből havonta átlagosan 5000 darabot értékesítenek. Egy darab sorsjegy ára 500 Ft, de ezt csökkenteni szeretnék. A sorsjegy ára 10 Ft-os lépésekben csökkenthető. Ha az ár $n$-szer 10 Ft-tal alacsonyabb lesz, akkor havonta $10n^2$-tel több sorsjegyet tudnak eladni ( $n \in N^{+} $ ). Mekkora a sorsjegyek eladásából származó havi bevétel, ha a sorsjegy árát 300 Ft-ra csökkentik?

Megnézem, hogyan kell megoldani

2. Egy kutatás szerint a városokban az influenzával fertőzött betegek száma a

\( B(t) = \frac{ L}{ 1 + \left( \frac{L}{B_0} -1 \right) \cdot 0,75^t} \)

formula szerint alakul. A képletben $t$ az influenzajárvány kezdetétől eltelt idő napokban kifejezve ($ 0 \leq t < 300$ ), $L$ a város lakóinak száma, $B_0$ pedig a járvány kezdetekor a fertőzött betegek száma a városban ( $0<B_0 < L$). Egy nagyvárosban $L=1,5$ millió, $B_0=1000$. Hány nap múlva lesz a város lakosainak 10%-a fertőzött beteg a modell szerint?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3. Egy nyomozás során fontossá vált felderíteni azt, hogy az A, B, C, D, E, F hattagú társaság mely tagjai ismerik egymást, azaz milyen a társaság ismertségi gráfja. (Az ismertség bármely két tag között kölcsönös és a társaság két ismertségi gráfja akkor különböző, ha van két olyan tag, akik az egyik gráfban egymásnak ismerősei, de a másikban nem.) A nyomozás során kiderült, hogy A-nak 5, B-nek 4, C-nek 3 ismerőse van a társaságban. Többet azonban nem tudunk. Hányféle lehet a D, E, F csoport ismertségi gráfja?

Megnézem, hogyan kell megoldani

4. Egy nyomozás során fontossá vált felderíteni azt, hogy az A, B, C, D, E, F hattagú társaság mely tagjai ismerik egymást, azaz milyen a társaság ismertségi gráfja. (Az ismertség bármely két tag között kölcsönös és a társaság két ismertségi gráfja akkor különböző, ha van két olyan tag, akik az egyik gráfban egymásnak ismerősei, de a másikban nem.) A nyomozás során kiderült, hogy A-nak 5, B-nek 4, C-nek 3 ismerőse van a társaságban, a D, E, F csoportban pedig mindenki ismeri a másik két személyt. Hányféle lehet az A, B, C, D, E, F csoport ismertségi gráfja?

Megnézem, hogyan kell megoldani

5. Igazoljuk, hogy ha $L$ és $K$ adott pozitív számok, $n \in N^{+}$, akkor a

\( b_n = \frac{L}{1+K\cdot 0,75^t} \)

képlettel megadott sorozat korlátos, szigorúan monoton növekedő és $ \lim_{n \to \infty} b_n = L$.

Megnézem, hogyan kell megoldani

6. Mutassuk meg, hogy az alábbi kijelentés igaz:

$ f: \; R \rightarrow R, \; f(x)=\frac{3}{(1+\cos{x})^2+2} $ függvény értékkészlete az $ \left[ \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] $ intervallum.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7. Tudjuk, hogy az A, B, C kijelentések mindegyike 0,6 valószínűséggel igaz és 0,4 valószínűséggel hamis. Ebben az esetben mennyi annak a valószínűsége, hogy az $ ( A \wedge B) \vee C$ kijelentés igaz?

Megnézem, hogyan kell megoldani

8. Adott négy, a valós számok halmazán értelmezett függvény:

\( f(x) = (x+4)(2-x) \qquad g(x)=x+4 \)

\( h(x)=x^2-4 \qquad i(x)= \mid x \mid -2 \)

Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük e négy függvénynek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvénynek van közös zérushelye. Rajzoljuk fel a gráfot!

Megnézem, hogyan kell megoldani

9. A valós számok halmazán értelmezett $k$ függvény zérushelyei -5 és 3, az $m$ függvény zérushelyei 3 és -3, az $n$ függvény zérushelyei pedig 5 és -5. A $p$ elsőfokú függvény hozzárendelési szabálya $p(x)=x+c$, ahol $c$ egy valós szám. Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük e négy függvénynek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvénynek van közös zérushelye. Hányféleképpen választható meg $c$ értéke úgy, hogy a gráf fa gráf legyen?

Megnézem, hogyan kell megoldani

10. Az ABC szabályos háromszög mindhárom oldalát 3-3 osztóponttal négy egyenlő részre osztottuk. Hány olyan négyszög van, melynek mind a négy csúcsa a háromszög oldalain kijelölt 9 pont közül való úgy, hogy a négyszögnek a háromszög mindegyik oldalán van legalább egy csúcsa? (Két négyszögek különbözőnek tekintünk, ha legalább egy csúcsukban különböznek.)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11. A $p, q, r$ pozitív számok összege 180. Tudjuk továbbá, hogy $p:q=7:8$ és $r:p=5:3$. Mi lehet $p, q, r$?

Megnézem, hogyan kell megoldani

12. Van néhány dobozunk és valahány érménk. Ha minden dobozba egy érmét teszünk, akkor $m$ darab érme kimarad. Ha minden dobozba pontosan $m$ darab érmét akarunk tenni, akkor $m$ dobozba nem jut érme ($m>1$). Hány érménk lehet, ha a dobozok száma 6?

Megnézem, hogyan kell megoldani

13. A mellékelt ábrán egy kereszt alakú lemez látható, amely 5 db 10 cm oldalú négyeztből áll. A lemezből egy 10 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla hálóját szeretnénk kivágni úgy, hogy a középső négyzet legyen a gúla alaplapja. Igazoljuk, hogy a lehetséges hálók kivágása során keletkező hulladék legalább $200 cm^2$, de kevesebb $300 cm^2$-nél.

Megnézem, hogyan kell megoldani

14. Van itt ez a nyolcpontú gráf. A gráfban véletlenszerűen kiválasztunk két csúcsot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két csúcsot él köti össze a gráfban?

Megnézem, hogyan kell megoldani

15. Egy kétszemélyes társasjátékot olyan négyzet alakú táblán játszanak, amelyet fehér és szürke mezőkre osztottak fel az ábra szerint. Ha a táblát egy olyan koordináta-rendszerbe helyezzük, amelyben a négyzet csúcsainak koordinátái: (1,1), (-1,1), (-1,-1), illetve (1,-1), akkor ebben a koordináta rendszerben az $a$ jelű ív egyenlete $y=(1-x)^3, \; 0 \leq x \leq 1$. A tábla középpontosan és tengelyesen is szimmetrikus. Írjuk fel a másik három ív egyenletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

16. Egy 21 cm x 29,7 cm-es téglalap alakú (A4-es) papírlapot összehajtottunk az egyik átlója mentén. Számítsuk ki, hogy mekkora az összehajtás után kétszeresen fedett síkrész területe.

Megnézem, hogyan kell megoldani

17. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Az első dobás eredményét egy számtani sorozat első tagjának, a második dobás eredményét a sorozat differenciájának tekintjük. Az így kapható sorozatok között hány olyan van, amelyben az első 10 tag összege kisebb 100-nál? (Két sorozatot különbözőnek tekintünk, ha az első tagjuk vagy a differenciájuk eltér egymástól.)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18. Tekintsük az összes olyan négyjegyű pozitív egész számot, amelynek egyik számjegye sem 0. Hány olyan van ezek között, amelynek a négy számjegye (valamilyen sorrendben) egy számtani sorozat négy egymást követő tagja?

Megnézem, hogyan kell megoldani

19. Jelöljük meg egy szabályos tizenkétszög $A_1$ csúcsát. Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik csúcsa az $A_1$, a másik két csúcsa pedig szintén a tizenkétszög valamelyik két csúcsával azonos? (Két háromszöget akkor tekintünk különbözőnek, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20. Az ABCDEFGH négyzetes oszlop AE, BF, CG, DH élei merőlegesek az ABCD alaplapra. Az A csúcsból kiinduló három él hossza AB=AD=8 egység, AE=15 egység. A négyzetes oszlop köré egy P csúcspontú forgáskúpot illesztünk úgy, hogy az A, B, C, D csúcsok a kúp alaplapjára, az E, F, G, H csúcsok pedig a kúp palástjára illeszkedjenek. (A kúp és a négyzetes oszlop tengelye egybeesik.) A kúp magassága 45 egység. Mekkora a kúp felszíne?

Megnézem, hogyan kell megoldani

21. Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik befogója 15 egység hosszú, és a másik két oldala is egész szám hosszúságú? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22. Határozzuk meg $ \frac{x}{y}$ értékét, ha $ \frac{2x+3y}{4x+2y}=\frac{9}{10} \quad ( y \neq 0, y \neq -2x)$.

Megnézem, hogyan kell megoldani