A kör
Kör sugara
Egy kör sugara a kör középpontját a körvonal bármely pontjával összekötő szakasz hossza. A kör sugarát r betűvel jelöljük ami a radius szó kezdőbetűje.
Kör középpontja
A kör azon pontok mértani helye a síkban, amelyek egy adott ponttól egyenlő távolságra vannak. Ezt az adott pontot hívjuk a kör középpontjának. A kör középpontját általában O-val vagy K-val szokás jelölni.
Körvonal
A körvonal azon pontok mértani helye a síkban, amelyek egy adott ponttól ( a kör középpontjától ) egyenlő távolságra vannak. A körvonalat szokás egyszerűen körként is emlegetni.
Körlap vagy körlemez
A körlap vagy körlemez a körvonal és a körvonalon belüli rész együttes elnevezése. Ezt így egyben szokás egyszerűen csak simán körnek is nevezni. Matematikailag precíz definíciója: azon pontok mértani helye a síkban, amelyek egy adott ponttól (a kör középpontjától) legfeljebb egy adott r távolságra (r a kör sugara) vannak.
Kör érintője
Ha egy egyenes éppen olyan távol halad egy kör középpontjától, mint a kör sugara, akkor ez az egyenes érinti a kört. Az érintőnek csak egy közös pontja van a körrel, amit érintési pontnak nevezünk. Az érintési pontba vezető sugár mindig merőleges az érintőre.
szelő a körben
Azokat az egyeneseket, amik metszik a kört úgy hívjuk, hogy szelő. A szelők két pontban metszik a kört és a két pont közötti szakasz a húr. Olyankor, amikor a szelő éppen átmegy a kör középpontján, a szelő a kör területét felezi, és ilyenkor a metszéspontok közötti húrt átmérőnek nevezzük. Az átmérő mindig a kör sugarának a kétszerese.
húr
Egy körben a körvonal két különböző pontját összekötő szakaszt húrnak nevezzük. Olyankor, amikor a húr éppen átmegy a kör középpontján, a húrt átmérőnek nevezzük. Az átmérő mindig a kör sugarának a kétszerese.
Átmérő
A kör középpontját áthaladó húrt átmérőnek nevezzük. Az átmérő a kör maximális szélessége, és az átmérő mindig a kör sugarának a kétszerese. Jele d a diameter szó kezdőbetűje alapján.
Kör és a kör részei
Egy adott ponttól állandó távolságra lévő pontok halmazát körvonalnak nevezzük. És ezt az állandó távolságot hívjuk a kör sugarának. A sugár jele r. A kör középpontját általában K-val jelöljük.
És most nézzük a kör részeit:
Középpont: A kör azon pontok mértani helye a síkban, amelyek egy adott ponttól egyenlő távolságra vannak. Ezt az adott pontot hívjuk a kör középpontjának. A kör középpontját általában O-val vagy K-val szokás jelölni.
Körvonal: A körvonal azon pontok mértani helye a síkban, amelyek egy adott ponttól ( a kör középpontjától ) egyenlő távolságra vannak. A körvonalat szokás egyszerűen körként is emlegetni.
Sugár: Egy kör sugara a kör középpontját a körvonal bármely pontjával összekötő szakasz hossza. A kör sugarát r betűvel jelöljük ami a radius szó kezdőbetűje.
Körlap vagy körlemez: A körlap vagy körlemez a körvonal és a körvonalon belüli rész együttes elnevezése. Ezt így egyben szokás egyszerűen csak simán körnek is nevezni. Matematikailag precíz definíciója: azon pontok mértani helye a síkban, amelyek egy adott ponttól (a kör középpontjától) legfeljebb egy adott r távolságra (r a kör sugara) vannak.
Húr: Egy körben a körvonal két különböző pontját összekötő szakaszt húrnak nevezzük. Olyankor, amikor a húr éppen átmegy a kör középpontján, a húrt átmérőnek nevezzük. Az átmérő mindig a kör sugarának a kétszerese.
Átmérő: A kör középpontját áthaladó húrt átmérőnek nevezzük. Az átmérő a kör maximális szélessége, és az átmérő mindig a kör sugarának a kétszerese. Jele d a diameter szó kezdőbetűje alapján.
Kör és egyenes kölcsönös helyzete
A kör és egyenes kölcsönös helyzete a síkban háromféle lehet. Az egyenes vagy metszi a kört vagy érinti, vagy kitérő.
Szelő: Azokat az egyeneseket, amik metszik a kört úgy hívjuk, hogy szelő. A szelők két pontban metszik a kört és a két pont közötti szakasz a húr. Olyankor, amikor a szelő éppen átmegy a kör középpontján, a szelő a kör területét felezi, és ilyenkor a metszéspontok közötti húrt átmérőnek nevezzük. Az átmérő mindig a kör sugarának a kétszerese.
Érintő: Ha az egyenes éppen olyan távol halad a kör középpontjától, mint a kör sugara, akkor érintőt kapunk. Az érintőnek csak egy közös pontja van a körrel, amit érintési pontnak nevezünk. Az érintési pontba vezető sugár mindig merőleges az érintőre.
Kitérő egyenes: Végül az is lehet, hogy a körnek egyetlen közös pontja sincs a körrel, ilyenkor kitérő egyenesnek nevezzük.
Két kör kölcsönös helyzete
Két kör kölcsönös helyzete a síkban már eléggé sokféle lehet. Két fő esetet lehet megkölönböztetni egymástól. Az egyik eset, amikor a két kör sugara nem ugyanakkora, a másik eset pedig az, amikor a két kör sugara ugyanakkora.
Két kör kölcsönös helyzete, ha a körök sugara nem ugyanakkora:
Elkerülő körök: Ha a két kör középpontjának távolsága nagyobb, mint a körök sugarainak összege, akkor a köröknek nincs közös pontjuk.
Kívülről érintő körök: Ha a középpontok távolsága éppen a sugarak összege, akkor egy közös pontjuk van és ilyenkor a két kör kívülről érinti egymást.
Metsző körök: Ha a körök középpontjainak távolsága kisebb, mint a sugarak összege, de nagyobb, mint a sugarak különbsége, akkor a körök metszik egymást. Ilyenkor a körvonalaiknak két közös pontja van.
Belülről érintő körök: Ha a középpontok távolsága a két kör sugarának a különbsége, akkor az egyik kör belülről érinti a másikat.
Tartalmazó körök: Ha a két középpont távolsága még ennél is kisebb, de pozitív, akkor az egyik kör tartalmazza a másik kört.
Koncentrikus körök: Végül, ha a két kör középpontjának a távolsága nulla, vagyis a középpontok egybeesnek, akkor azt mondjuk, hogy a körök koncentrikus körök.
Két kör kölcsönös helyzete, ha a körök sugara ugyanakkora:
Elkerülő körök: Ha a két kör középpontjának távolsága nagyobb, mint a körök sugarainak összege, akkor a köröknek nincs közös pontjuk.
Kívülről érintő körök: Ha a középpontok távolsága éppen a sugarak összege, akkor egy közös pontjuk van és ilyenkor a két kör kívülről érinti egymást.
Metsző körök: Ha a körök középpontjainak távolsága kisebb, mint a sugarak összege, de nagyobb, mint nulla, akkor a körök metszik egymást. Ilyenkor a körvonalaiknak két közös pontja van.
Egybeeső körök: Ha a középpontok távolsága nulla, vagyis a középpontok egybeesnek, akkor azt mondjuk, hogy a körök koncentrikus körök.
Kör kerülete és területe
Az $r$ sugarú kör kerülete:
\( K = 2r \cdot \pi \)
Területe:
\( T = r^2 \cdot \pi \)
Körcikk ívhossza és területe
A körcikk ívhossza és területe úgy aránylik a kör kerületéhez és területéhez, mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360°-hoz:
\( I_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot 2r \cdot \pi \)
\( T_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi \)
Thalész-tétel
A Thalész-tétel azt mondja, hogy ha az $AB$ szakasz egy kör átmérője, és $C$ a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az $ACB$-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az $AB$ szakasz a körív bármely harmadik $C$ pontjából derékszögben látszik.
a) Mekkora egy 32 cm-es pizza sugara?
b) Mi a kör szelője, érintője, átmérője, sugara?
a) Egy kör középpontja a K(6,5)pont és a kör sugara 3 egység. Rajzoljuk fel a kört és jelöljük be azokat a pontokat, amik a K ponttól legfeljebb 3 egység távolságra vannak.
b) Rajzoljuk be azokat a pontokat, amik a K(3,4)ponttól legalább 2 egység távolságra és legfeljebb 5 egység távolságra vannak.
c) Végül rajzoljuk be azokat a pontokat is, amik a K(5,3)ponttól legalább 3 egységre és az M(5,5)ponttól legfeljebb 5 egységre vannak.
Egy 32 cm átmérőjű pizza szélén, egy 4 cm-es sávon általában már nincs semmi. Mekkora ennek az "üres" résznek a területe?
a) Van egy 32 centiméter átmérőjű pizza, meg két darab 22 centiméteres. Melyiknek nagyobb a területe, az egy darab 32 centiméteresnek, vagy a két darab 22 centiméteresnek együtt?
b) Egy templomtorony órája 6 méter átmérőjű körlap. A számok a körlap szélén 1 méter szélességű gyűrűn helyezkednek el. Mekkora ennek a gyűrűnek a területe?
Egy sportpálya belső része 62 méter hosszú és 44 méter széles téglalap alakú füves terület. Körülötte 10 méter széles sávban egy futópálya található. A futópálya párhuzamos a belső téglalap 62 méteres oldalaival, a 44 méteres oldalaknál pedig egy-egy félkörívben halad. Mekkora a futópálya területe?
Bob úgy dönt hogy leugrik a sportpályára futni egy kört. Hány méterrel fut többet, ha a futópálya külső szélén fut, mint akkor, ha a belsőn?
Bob a téglalap alakú füves rész 62 méteres oldalára rajzol két egyforma félkörívet úgy, hogy az átmérőik összege éppen 62 méter legyen. Aztán a másik 62 méter hosszú oldalra is rajzol két félkörívet, de azok nem egyformák, az átmérőik összege viszont szintén 62 méter. Bizonyítsuk be, hogy a pálya egyik oldalára rajzolt görbe vonal hossza ugyanakkora, mint a másik oldalára rajzolt görbe vonal hossza.
a) Van egy 32 cm átmérőjű pizza. Vágjuk 6 egyenlő részre, aztán vegyünk ki egy szeletet. Mekkora ennek a pizzaszeletnek a területe?
b) Egy templomtorony órája 6 méter átmérőjű körlap. Az óra mutatói délután 4 órakor egy körcikket határoznak meg. Mekkora ennek a körcikknek a területe?
a) Egy óriáskerék 16 darab kabinja egyenletesen helyezkedik el a 60 méter átmérőjű keréken. Mekkora a két szomszédos kabin közötti körcikk területe?
b) Egy torony óráján a nagymutató csúcsa éppen az óra kör alakú számlapjának széléig ér. Ahogy a mutató körbefordul, a mutató csúcsa 5 perc alatt 1,6 métert tesz meg. Mekkora az óra számlapjának a területe?
c) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a 10 méter átmérőjű körben lévő körcikkhez, aminek a területe 4 m2?
Bob nem túl jó matekból, viszont szeret rajzolni, így hát elhatározta, hogy ábrázolja a matekjegyeit egy 20 cm átmérőjű kördiagramon.
a) Mekkora középponti szög tartozik a kettesekhez?
b) Milyen hosszú körív tartozik a hármasokhoz?
c) Mekkora a sárga körcikk területe a négyeseknél?
a) Egy 4 egység sugarú körben lévő húr két végpontja A(2,5) és B(6,1). Adjuk meg a kör középpontját.
b) Adott három pont, A(2,5) B(4,3) és C(8,3). Keressük annak a körnek a középpontját, amelyik mindhárom ponton átmegy.
c) Az A(2,4) és B(8,4) pont egy kör átmérőjének két végpontja. Mekkora a kör sugara és hol van a kör középpontja?
a) Egy derékszögű háromszög oldalai 12 cm, 16 cm és 20 cm hosszúak. Mekkora a háromszög köré írható kör sugara?
b) Egy deltoidnak van két 90 fokos szöge, valamint egy 120 fokos meg egy 60 fokos szöge. A deltoid átlói pedig 15 cm és 13 cm hosszúak. Mekkorák a deltoid oldalai?
Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 50 fokos szöget zár be. Mekkorák a húrnégyszög szögei?
a) Egy háromszög egyik oldala 120°-os szögben, egy másik oldala pedig 132°-os szögben látszódik a háromszög köré írt körének középpontjából. Mekkorák a háromszög belső szögei?
b) Az \(ABCD\) húrnégyszögben a \(B\) csúcsnál lévő szöget a \(DB\) átló egy 15°-os és egy 65°-os szögre osztja. Bizonyítsuk be, hogy az \(ACD\) háromszög \(D\) csúcsnál lévő szöge 100° és a \(C\) csúcsnál lévő szög 15°.
a) Váltsuk át ezeket a fokokat radiánba: 45°, 30°, 60°, 120°, 135°.
b) Váltsuk át radiánból fokokba: \(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{5}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\).
Számoljuk ki annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.
a) Bob randizni viszi barátnőjét. Szeretett volna tökéletes helyszínt találni és így esett a választás erre a körhintára, ahol "egy kör" befizetése esetén a gép 2,5-szer is körbefordul. Hány métert tesznek meg ezzel a körhintával "egy kör" esetén, ha a körhinta átmérője 4,2 méter?
b) Hatalmas siker volt a körhinta, ezért felültek még egy körre. De sajnos a gép menet közben elromlott, így csak 5 méternyi utat tettek meg. Hány fokkal fordult el Bob és a barátnője az induláshoz képest?
c) Bob és a barátnője egy 55 centis pizzát esznek közösen. Úgy akarják elosztani, hogy Bob eszi meg a 60%-át és 40%-ot kap a barátnője. Bob egy körcikket vágott neki, ami éppen a teljes pizza területének 40%-a. Mekkora középponti szög tartozik ehhez a körcikkhez?
a) Egy 50 méter átmérőjű óriáskerék 900 fokot fordult. Mekkora utat tesz meg így az óriáskeréken egy kabin?
b) Ugyanezen az 50 méter átmérőjű óriáskeréken egy kabin 120 méternyi körívet fordult. Hány fokos középponti szög tartozik ehhez a körívhez?
a) Egy 32 cm átmérőjű pizzát négy egyenlő körcikkre vágunk fel. Az egyik körcikknél levágjuk egyenesre a körcikk ívét és így egy körszeletet kapunk. Mekkora ennek a szeletnek a területe?
b) Egy 10 cm sugarú körben mekkora a 60°-os középponti szöghöz tartozó körszelet területe?
a) Egy 8 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik a 122,6°-os középponti szöghöz?
b) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körívhez, melynek sugara 7 cm és ívhossza 12 cm?
c) Mekkora a sugara annak a 110°-os középponti szögű körcikknek, aminek a területe \(215 \; cm^2\)?
a) Egy 12 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik a 40°-os középponti szöghöz?
b) Mekkora a sugara annak a körnek, aminek a 35°-os középponti szögéhez tartozó ív hossza 6 cm?
c) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a 16 cm átmérőjű körben lévő körcikkhez, aminek a területe \(34\;cm^2\)?
a) Egy 7 cm sugarú körben mekkora a 140°-os középponti szöghöz tartozó kisebbik körszelet területe?
b) Számoljuk ki annak a körszletnek a területét, amelyet egy 9 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 4 cm távolságban haladó szelővel.
A geometria alapjai, térelemek, pontok, egyenesek, síkok. Két pont távolsága, két egyenes távolsága, két sík távolsága. Pont és egyenes távolsága, pont és sík távolsága, egyenes és sík távolsága. Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. Szakaszfelező merőleges egyenes, szögfelező, háromszög körülírt köre, háromszög beírt köre. Szuper érthetően elmeséljük, hogy egy háromszögben mi az a súlyvonal, magasságvonal, hogyan néznek ki a belső szögfelezők és az oldalfelező merőlegesek. És végre kiderül, hogy mi az a súlypont, magasságpont, hogyan jön ki a háromszög beírt körének és körülírt körének középpontja. Ezeket ugyanis mindenki össze szokta keverni. De csak mostanáig. Ezek után megnézzük, hogy, milyen típusú háromszögek vannak. Hogyan néz ki az egyenlőszárú háromszög, milyen izgalmas dolgokat tud. Aztán itt jön a szabályos háromszög is. Végül jönnek a derékszögű háromszögek, megnézzük, mi az átfogó, a befogó és még sok izgalom várható. Aztán jönnek a négyszögek: trapézok, deltoidok, rombuszok, téglalapok és paralelogrammák. A négyszögek csoportosítása, tulajdonságaik, átlóik, szögeik és oldalaik. Megnézzük, hogy mik azok a trapézok? Trapéz alapjai és szárai. A trapézok szögei. A trapéz területe. Speciális trapézok. Egyenlőszárú trapéz, szimmetrikus trapéz, húrtrapéz. Paralelogramma. A paralelogrammák oldalai és szögei. A paralelogramma területe. Egy nagy klasszikus a Pitagorasz-tétel bizonyítása. Mire jó a Pitagorasz-tétel? Az a oldalú négyzet átlójának hossza. Az a oldalú szabályos háromszög magassága. Feladatok derékszögű háromszögekkel és trapézokkal. Pitagorasz-tételes feladatok megoldással. Aztán egy másik nagy klasszikus a Thalész-tételt, és azt, hogy mire lehet használni. Megnézzük, mi az a húr, átmérő, kerületi szög, látószög és még sok fantasztikusan izgalmas dolgot. Végül pedig szuperérthetően elmeséljük, hogy miről szól a kerületi szögek tétele, mi az a látókörív, mit jelent az, hogy kerületi szög, mi a középponti szög és azt is, hogy milyen kapcsolatban vannak egymással. Aztán jönnek a húrnégyszögek, a húrnégyszögek tulajdonságai, végül egy érdekes feladat kerületi szögekkel, látókörívvel és húrnégyszögekkel.
A Pitagorasz után egy másik nagy klasszikus következik, akit Thalésznek hívnak.
Van itt ez a kör és egy rajta átmenő egyenes.
Az egyenesnek a kör belsejében lévő részét húrnak nevezzük.
Ha az egyenes éppen átmegy a kör középpontján, akkor az így keletkező húr neve átmérő.
És a hossza éppen a kör sugarának a kétszerese.
Erről az átmérőről szól a Thalész-tétel.
Válasszunk ki a köríven egy tetszőleges harmadik pontot.
Mondjuk ezt a C pontot itt.
Keletkezik két egyenlő szárú háromszög.
Ez az egyik…
és ez pedig a másik.
Az első háromszögben az alapon fekvő szögeket jelöljük –val.
A másikban pedig –val.
A háromszög belső szögeinek összege 180 fok.
Így van ez az ABC háromszögben is.
Ez a C pont lehet bárhol a köríven…
A C-ben lévő szög mindig derékszög lesz.
Erről szól a Thalész-tétel.
Thalész-tétel:
Ha az AB szakasz egy kör átmérője, és C a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az ACB-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az AB szakasz a körív bármely harmadik C pontjából derékszögben látszik.
És most nézzük, hogy mi történik akkor, ha az AB szakasz nem átmérő…
Van itt ez az r sugarú kör.
A kör kerületének a kiszámolására már több ezer éve ez a kis képlet van forgalomban:
A kör területe pedig:
Hogyha például a kör sugara 16 cm…
Most nézzük, mi a helyzet a körcikkek területével.
A körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez…
mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360o-hoz.
Próbáljuk is ki:
KÖRCIKK TERÜLETE:
Számoljuk ki, hogy egy 10 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik az 50o-os középponti szöghöz.
Itt jön aztán egy másik ügy.
Egy körben 10 cm hosszú körív tartozik a 30 fokos középponti szöghöz. Mekkora a 30 fokos középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
