- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
A kör
Thalész-tétel
A Thalész-tétel azt mondja, hogy ha az $AB$ szakasz egy kör átmérője, és $C$ a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az $ACB$-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az $AB$ szakasz a körív bármely harmadik $C$ pontjából derékszögben látszik.
Kerületi szög
A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.
Középponti és kerületi szögek tétele
Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.
Kerületi szögek tétele
Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.
Húrnégyszög
A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
A húrnégyszögek egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy szemközti szögeinek összege mindig 180°.
Ha egy négyszögnél felfedezzük, hogy szemközti szögeinek összege 180°, akkor abból következik, hogy az húrnégyszög. Ez a gyakorlatban azt is jelenti, hogy van körülírt köre.
Látókörív
A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy $AB$ szakasz egy $0<\alpha<180°$ szögben látszik, két szimmetrikus körív.
Kör kerülete és területe
Az $r$ sugarú kör kerülete:
\( K = 2r \cdot \pi \)
Területe:
\( T = r^2 \cdot \pi \)
Körcikk ívhossza és területe
A körcikk ívhossza és területe úgy aránylik a kör kerületéhez és területéhez, mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360°-hoz:
\( I_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot 2r \cdot \pi \)
\( T_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi \)
4. Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be. Mekkorák a húrnégyszög szögei?
a) Mekkora egy 16 cm sugarú kör kerülete és területe?
b) Mekkora egy 16 cm sugarú kör 60°-os, illetve 80°-os körcikkének területe?
c) Számoljuk ki, hogy egy 10 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik az 50°-os középponti szöghöz?
d) Egy körben 10 cm hosszú körív tartozik a 30 fokos középponti szöghöz. Mekkora a 30 fokos középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
A geometria alapjai, térelemek, pontok, egyenesek, síkok. Két pont távolsága, két egyenes távolsága, két sík távolsága. Pont és egyenes távolsága, pont és sík távolsága, egyenes és sík távolsága. Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. Szakaszfelező merőleges egyenes, szögfelező, háromszög körülírt köre, háromszög beírt köre. Szuper érthetően elmeséljük, hogy egy háromszögben mi az a súlyvonal, magasságvonal, hogyan néznek ki a belső szögfelezők és az oldalfelező merőlegesek. És végre kiderül, hogy mi az a súlypont, magasságpont, hogyan jön ki a háromszög beírt körének és körülírt körének középpontja. Ezeket ugyanis mindenki össze szokta keverni. De csak mostanáig. Ezek után megnézzük, hogy, milyen típusú háromszögek vannak. Hogyan néz ki az egyenlőszárú háromszög, milyen izgalmas dolgokat tud. Aztán itt jön a szabályos háromszög is. Végül jönnek a derékszögű háromszögek, megnézzük, mi az átfogó, a befogó és még sok izgalom várható. Aztán jönnek a négyszögek: trapézok, deltoidok, rombuszok, téglalapok és paralelogrammák. A négyszögek csoportosítása, tulajdonságaik, átlóik, szögeik és oldalaik. Megnézzük, hogy mik azok a trapézok? Trapéz alapjai és szárai. A trapézok szögei. A trapéz területe. Speciális trapézok. Egyenlőszárú trapéz, szimmetrikus trapéz, húrtrapéz. Paralelogramma. A paralelogrammák oldalai és szögei. A paralelogramma területe. Egy nagy klasszikus a Pitagorasz-tétel bizonyítása. Mire jó a Pitagorasz-tétel? Az a oldalú négyzet átlójának hossza. Az a oldalú szabályos háromszög magassága. Feladatok derékszögű háromszögekkel és trapézokkal. Pitagorasz-tételes feladatok megoldással. Aztán egy másik nagy klasszikus a Thalész-tételt, és azt, hogy mire lehet használni. Megnézzük, mi az a húr, átmérő, kerületi szög, látószög és még sok fantasztikusan izgalmas dolgot. Végül pedig szuperérthetően elmeséljük, hogy miről szól a kerületi szögek tétele, mi az a látókörív, mit jelent az, hogy kerületi szög, mi a középponti szög és azt is, hogy milyen kapcsolatban vannak egymással. Aztán jönnek a húrnégyszögek, a húrnégyszögek tulajdonságai, végül egy érdekes feladat kerületi szögekkel, látókörívvel és húrnégyszögekkel.
A Pitagorasz után egy másik nagy klasszikus következik, akit Thalésznek hívnak.
Van itt ez a kör és egy rajta átmenő egyenes.
Az egyenesnek a kör belsejében lévő részét húrnak nevezzük.
Ha az egyenes éppen átmegy a kör középpontján, akkor az így keletkező húr neve átmérő.
És a hossza éppen a kör sugarának a kétszerese.
Erről az átmérőről szól a Thalész-tétel.
Válasszunk ki a köríven egy tetszőleges harmadik pontot.
Mondjuk ezt a C pontot itt.
Keletkezik két egyenlő szárú háromszög.
Ez az egyik…
és ez pedig a másik.
Az első háromszögben az alapon fekvő szögeket jelöljük –val.
A másikban pedig –val.
A háromszög belső szögeinek összege 180 fok.
Így van ez az ABC háromszögben is.
Ez a C pont lehet bárhol a köríven…
A C-ben lévő szög mindig derékszög lesz.
Erről szól a Thalész-tétel.
Thalész-tétel:
Ha az AB szakasz egy kör átmérője, és C a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az ACB-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az AB szakasz a körív bármely harmadik C pontjából derékszögben látszik.
És most nézzük, hogy mi történik akkor, ha az AB szakasz nem átmérő…
Van itt ez a kör és benne egy AB húr.
Most válasszunk egy tetszőleges pontot a nagyobbik AB köríven.
Az ACB-szöget kerületi szögnek nevezzük, és azt mondjuk, hogy a C pontból az AB szakasz szögben látszik.
A kerületi szögek tétele azt mondja, hogy ez a szög a nagyobbik körív bármely pontjában ugyanakkora.
És a hozzá tartozó középponti szög mindig kétszer akkora.
Ugyanez elmondható a kisebbik körívről is.
És van itt még egy dolog.
Ahogy ez a rajzon is látszik, a nagyobbik és a kisebbik körívhez tartozó kerületi szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
A nagyobbik körív az szögű látókörív.
Ennek minden pontjából az AB szakasz szögben látszik.
A kisebbik körív a szögű látókörív.
Ennek pontjaiból az AB szakasz szögben látszik.
Ez eddig mind nagyon érdekes, de most már lássuk végre, hogy mire lehetne használni.
Nos, meg lehet előzni vele veszélyes járványok terjedését…
Ja, nem, azt mégse.
Viszont megtudhatunk egy érdekes dolgot a húrnégyszögekről.
A húrnégyszög olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
Innen ered az elnevezése is – hihetetlenül frappáns.
Ez itt például egy húrnégyszög.
És itt látható a húrnégyszögek egyik fontos tulajdonsága: a szemközti szögeinek összege mindig 180 fok.
A dolog fordítva is igaz, tehát ha egy négyszögben a szemközti szögek összege 180 fok…
akkor az a négyszög húrnégyszög.
Ennek gyakorlati jelentősége annyi, hogy van körülírt köre.
Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be.
Mekkorák a húrnégyszög szögei?
Kéne ide erről egy ábra.
Az egyik átló átmegy a kör középpontján…
És az egyik oldallal 60 fokos szöget zár be.
A másik átlóval pedig 80 fokosat.
Hát, íme, itt volna az áldozat.
Mivel az átló átmegy a kör középpontján, a Thalész tétel miatt ez a szög derékszög.
És ez is.
Ez jó hír, akkor két szöge már meg is van a húrnégyszögnek.
Nézzük, mi a helyzet a másik kettővel.
Van itt ez a 60 fokos szög…
És a kerületi szögek tétele miatt ez is 60 fokos.
Ez pedig…
Ebben a háromszögben a hiányzó szög…
Ebben a másikban pedig…
Mivel pedig húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 fok, a negyedik szög…
Hát erről ennyit.
Van itt ez az r sugarú kör.
A kör kerületének a kiszámolására már több ezer éve ez a kis képlet van forgalomban:
A kör területe pedig:
Hogyha például a kör sugara 16 cm…
Most nézzük, mi a helyzet a körcikkek területével.
A körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez…
mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360o-hoz.
Próbáljuk is ki:
KÖRCIKK TERÜLETE:
Számoljuk ki, hogy egy 10 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik az 50o-os középponti szöghöz.
Itt jön aztán egy másik ügy.
Egy körben 10 cm hosszú körív tartozik a 30 fokos középponti szöghöz. Mekkora a 30 fokos középponti szöghöz tartozó körcikk területe?