- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Elsőfokú egyenletek
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Szöveges feladatok
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvénytranszformációk, függvények ábrázolása
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Tükrözések, forgatások, egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Függvénytranszformációk, függvények ábrázolása
Függvénytranszformációk
Belső függvénytranszformáció: $f(x+a)$, ez úgy működik, hogy az $x$ tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
Külső függvénytranszformáció: $f(x)+a$, ez pedig az $y$ tengelyen tolja el a függvényt.
Függvény szorzása számmal: $a\cdot f(x)$, ilyenkor megnyújtjuk a függvényt az $y$ tengely szerint.
Függvény változójának szorzása egy számmal: $f(a \cdot x)$, ilyenkor az $x$ tengely szerint nyújtjuk a függvényt.
Függvények paritása
Minden olyan függvényt, ami az $y$ tengelyre szimmetrikus, páros függvénynek hívunk. Ezek a függvények azt tudják, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = f(x) \)
Azokat a függvényeket, amelyek az origóra szimmetrikusak, páratlan függvénynek nevezzük. A páratlan függvények úgy működnek, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = - f(x) \)
Polinomfüggvény
Ha az $x$ különböző pozitív egész kitevős hatványait összeadjuk vagy kivonjuk, akkor polinomokat kapunk.
A polinomfüggvény általános alakja:
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 \)
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=(x-3)^2 \)
b) \( f(x)=(-x-2)^2 \)
c) \( f(x)=(x-4)^2-3 \)
d) \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)
e) \( f(x)=-\sqrt{x} \)
f) \( f(x)=\sqrt{-x} \)
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
a) \( f(x)=(x-3)^2 \)
b) \( f(x)=x^2-3 \)
c) \( f(x)=(x-4)^2-8 \)
d) \( f(x)=(x+2)^2-4 \)
e) \( f(x)=2\cdot x^2 \)
f) \( f(x)=3\cdot(x-4)^2-5 \)
g) \( f(x)=(-x+3)^2-8 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^2-6x+7 \)
b) \( f(x)=x^2+5x+6 \)
c) \( f(x)=3x^2-12x+9 \)
d) \( f(x)=-2x^2+2x-12 \)
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
\( f(x)=x^2 \)
\( f(x)=x^3 \)
\( f(x)=x^4 \)
\( f(x)=x^5 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\sqrt{x-5} \)
b) \( f(x)=\sqrt{6-2x} \)
c) \( f(x)=-\sqrt{3x+6} \)
d) \( f(x)=\sqrt{2x-4}+3 \)
e) \( f(x)=\sqrt{4x-12}+1 \)
f) \( f(x)=\sqrt{4-2x}-3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x-5| \)
b) \( f(x)=|7-x| \)
c) \( f(x)=|6-2x| \)
d) \( f(x)=|x+5|-3 \)
e) \( f(x)=|3x-12|+1 \)
f) \( f(x)=2-|4-2x| \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)
b) \( f(x)=\frac{x+3}{x-2} \)
c) \( f(x)=\frac{2x+5}{x+3} \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x^2-4| \)
b) \( f(x)=|x^2-5x| \)
c) \( f(x)=||x|-3| \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=3^{x-5} \)
b) \( f(x)=3^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-2^{x-3}+4 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=e^{x-5} \)
b) \( f(x)=e^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-e^{x-3}+4 \)
d) \( f(x)=e^{3-x}+3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\ln{(x-5)} \)
b) \( f(x)=\ln{(x-2)}+3 \)
c) \( f(x)=-\ln{(x-3)}+4 \)
d) \( f(x)=\ln{(2-x)}+3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x|-3 \)
b) \( f(x)=|x-3| \)
c) \( f(x)=|x-3|-5 \)
d) \( f(x)=-|x+1|+2 \)
13. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\sqrt{x+4} \)
b) \( f(x)=\sqrt{5-x} \)
Itt röviden és szuper-érthetően meséljük el neked, hogy, hogyan kell függvényeket ábrázolni. Függvények, koordináták, Értelmezési tartomány, Értékkészlet, Transzformációk, Külső és belső függvény transzformációk, x tengelyre tükrözés, y tengelyre tükrözés, néhány fontosabb függvény, mindez a középiskolás matek ismétlése. Szó lesz aztán a függvények monotonitásáról, konvexitásáról, lokális és abszolút szélsőértékekről, a függvények értelmezési tartományáról és értékkészletéről. Megnézzük a másodfokú függvények ábrázolását. A másodfokú függvények grafikonja egy parabola. A parabola csúcspontja eredetileg az origoban van, de ha eltoljuk a függvény grafikonját a függvénytranszformációkkal, akkor a csúcspont is arrébb tolódik. Nézzük meg, hogy hova, és azt is, hogy miért. Aztán jönnek a polinomfüggvények. Megtudhatod, hogyan néz ki az x a köbön függvény, az x a negyediken függvény és általában a hatványfüggvények. Megnézzük mi a közös a páros kitevős hatványfüggvényekben és a páratlan kitevős hatványfüggvényekben. Aztán megnézzük a páros és páratlan kitevős polinomfüggvényeket. Végül jön néhány polinomfüggvényes feladat a polinomfüggvények ábrázolásával és zérushelyeivel kapcsolatban. Ezek után jön a négyzetgyök függvény és különböző transzformációi. Aztán megnézzük az abszolútérték függvényt. Majd következik az 1/x függvény, amelynek grafikonja a hiperbola.
Az x2 függvény grafikonja egy parabola.
A parabola csúcsa az origóban van.
Nézzük, mi történik akkor…
ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.
Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...
A parabola csúcsa mindig oda tolódik,
ahol ez nulla.
Ez pedig akkor nulla, ha x=3.
Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…
és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.
Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…
egészen más dolog történik.
Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.
Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…
Kezdjük ezzel a résszel itt…
Aztán itt van még ez is.
Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.
És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.
Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.
Hogyha itt van például ez a függvény:
A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…
Egészen pontosan ide.
Az y tengely mentén pedig ide.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.
Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…
Vagy éppen a mínusz kétszeresére.
És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.
Végül itt jön még ez is:
De szenvedéseink tovább folytatódnak…
Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a függvény segítségével.
Ha a elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt
mindkét tengelyre is.
Lássuk, hogyan néz ki például ez…
A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…
Itt belül az x előtt viszont igen.
Na persze még el is van tolva…
Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…
Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.
2-vel pedig fölfelé.
És talán még egy utolsó nem árthat meg:
A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.
Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
Csak sajnos ez nem igazán látszik…
mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.
Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a függvényen.
De azért így a végén még nézzük meg ezt:
Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
