- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet
- Elsőfokú egyenletek
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás
- Térgeometria
- Valószínűségszámítás
- A geometriai valószínűség
- A várható érték
- Statisztika
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Statisztika
Medián
A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.
Ha páros sok elem van, akkor nincs középső elem, ilyenkor a két középső elem átlagát vesszük.
Átlag
Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.
Jele: $\overline{x}$
Szórás
Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.
\( \sigma = \sqrt{ \frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2}{n} } \)
Alsó kvartilis
Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.
Az alsó kvartilis jele: $Q_1$
Felső kvartilis
Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.
A felső kvartilis jele: $Q_3$
Doboz-ábra (Boxplot)
A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.
Ezek segítségével készíthető el a doboz-ábra.
Relatív szórás
A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:
\( V = \frac{\sigma}{\overline{X}} \)
Számítsuk ki Bob matekjegyeinek móduszát és mediánját.
Ezek a matek jegyek:
2, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 4
Bob nem kedveli a kémiát.
Ezt a jegyei alapján bárki megállapíthatja.
2, 3, 3, 2, 3
Alfréd viszont rajong a kémia egyes területeiért... de csak azokért.
5, 5, 1, 1, 1
Számítsuk ki Bob és Alfréd jegyeinek átlagát és szórását.
Egy futóversenyen 10-en vesznek részt.
A futók eredményei (percben):
98, 73, 68, 92, 110, 75, 87, 96, 108, 130
Készítsünk doboz-ábrát az eredményekről.
Egy futóversenyen több országból indultak versenyzők.
Íme, itt látható, hogy milyen eredményeket értek el, és melyik országból jöttek.
Ország | Eredmény (percben) |
Németország | 68 |
Franciaország | 73 |
Németország | 74 |
Ausztria | 87 |
Olaszország | 92 |
Olaszország | 96 |
Olaszország | 98 |
Németország | 108 |
Németország | 110 |
Olaszország | 130 |
Németország | 134 |
Németország | 140 |
Ábrázoljuk a versenyzők nemzetiség szerinti eloszlását.
Egy futóversenyen 150 versenyző vett részt. A versenyzők eredményeit tartalmazza ez a táblázat
Eredmény (perc) |
Versenyzők száma |
50-59 | 12 |
60-69 | 18 |
70-79 | 27 |
80-89 | 39 |
90-99 | 32 |
100-109 | 22 |
Számoljuk ki az átlagot, a szórást és a relatív szórást, valamint ábrázoljuk a verseny eredményét hisztogrammal.
a) Egy csoportban hatan írnak tesztet, a teszt eredménye 1-es, 2-es, 3-as, 4-es vagy 5-ös lehet. Tudjuk, hogy csak egy 3-as van és az átlag 4,5. Mik voltak az eredmények?
b) 11 darab nem negatív egész számról tudjuk, hogy egyetlen móduszuk a 2, mediánja 3, átlaga 4 és terjedelme 5. Melyik ez a 11 darab szám?
Egy vonat utasainak száma hétfőn 200, kedden 160, szerdán 90, csütörtökön 150. Hány utas volt pénteken, ha tudjuk, hogy az öt adat átlaga is szerepel az adatok között, továbbá az adatok egyetlen módusza nem egyenlő a mediánjukkal?
Egy piacon az almát egy olyan csomagolásban árulják, melynek felirata 5 kg \( \pm \) 10 dkg. A minőségellenőrzés során véletlenszerűen kiválasztanak 8 csomagot, és ezeket lemérik. Az almák árusítását csak akkor engedélyezik, ha egyik csomag tömege sem kisebb 4 kg 90 dkg-nál, és a mérési adatok 5 kg-tól mért átlagos abszolút eltérése nem haladja meg a 10 dkg-ot.
a) Engedélyezik-e az árusítást?
b) Határozzuk meg a mérési eredmények átlagát és szórását!
Mérés sorszáma | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8. |
mért tömeg (dkg) | 506 | 491 | 493 | 512 | 508 | 517 | 493 | 512 |
Egy városkában 30 szálloda üzemel. A szállodák között van kétcsillagos, háromcsillagos, négycsillagos és ötcsillagos is.
a) Számoljuk ki, hogy átlagosan hány csillagosak a szállodák a városkában. Adjuk meg a mediánt és a móduszt is.
b) Ábrázoljuk kördiagramon a szállodák csillagok szerinti megoszlását.
* | 0 |
** | 2 |
*** | 12 |
**** | 9 |
***** | 7 |
Egy tesztet 12 vizsgázó írja meg. A maximálisan elérhető pontszám 100, az eredmények pedig a következők:
56, 47, 60, 86, 71, 96, 55, 24, 76, 81, 72, 91.
Készítsünk doboz-ábrát.
30 napon keresztül vizsgálták, hogy egy úton naponta hány baleset történik.
Balesetek száma | napok száma |
0 | 7 |
1 | 8 |
2 | 6 |
3 | 4 |
4 | 3 |
5 | 2 |
Számoljuk ki az átlagot, a szórást, a móduszt, a mediánt és ábrázoljuk a táblázat adatait oszlopdiagrammal.
Egy újságárús havi lapeladását tartalmazza a következő táblázat.
Eladott mennyiség | napok száma |
215 | 2 |
217 | 4 |
218 | 2 |
220 | 5 |
222 | 8 |
225 | 7 |
230 | 3 |
Számoljuk ki az átlagot, a szórást és a relatív szórást.
Egy taxitársaságnál a telefonos rendeléstől a helyszínre érkezésig eltelt idő egy hét leforgása alatt az alábbi volt:
Eltelt idő (perc) |
Esetek száma |
0-4 | 1654 |
5-9 | 2470 |
10-19 | 680 |
20-29 | 46 |
Számoljuk ki az átlagot, a szórást és a relatív szórást.
Egy futóversenyen résztvevők életkorának átlaga 28 év. Az öt legidősebb életkorának átlaga 40 év, a többieké 25,6 év. Hány nő és hány férfi vesz részt a futóversenyen, ha 1,5-szer annyi nő vesz részt, mint férfi?
Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük a statisztikával kapcsolatos összes lényeges fogalmat. Megnézzük, mi az a módusz és medián, mi a különbség köztük és mire jók ezek valójában. Nézünk néhány példát is móduszra és mediánra. Aztán elmeséljük, mire jó a szórás és hogyan kell kiszámolni. Nézünk néhány példát az átlag és a szórás kiszámolására, és az is kiderül, mire jók az átlag és a szórás valójában. Átlag és szórás feladatok megoldásokkal.Módusz és medián feladatok megoldásokkal. Nézzük, mik azok a kvartilisek, mit jelent az, hogy negyedelik az adatsort. Készítünk doboz-ábrát, elemezzük az adatsort a kvartilisek, a medián, a terjedelem és a doboz-ábra segítségével. Lássuk, mi az a kördiagram, hogyan kell elkészíteni, mikor kell kördiagramot és mikor oszlopdiagramot használni. Nem minden oszlopdiagramnak tűnő dolog oszlopdiagram. Van amelyiket hisztogramnak nevezzük. Mi a különbség az oszlopdiagram és a hisztogram között?