- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Az integrálás (emelt szint)
Primitív függvény és határozatlan integrál
Az $f(x)$ függvény primitív függvényének jele $F(x)$ és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk $f(x)$-et, azaz
\( F'(x)=f(x) \)
Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.
Alapintegrálok
\( \int x^n \; dx = \frac{ x^{n+1}}{n+1}+c \qquad n \neq -1 \)
\( \int \frac{1}{x} \; dx = \ln{ \mid x \mid} + c \)
\( \int e^x \; dx = e^x + c \)
\( \int a^x \; dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + c \)
\( \int \cos{x} \; dx = \sin{x} + c \)
\( \int \sin{x} \; dx = -\cos{x} + c \)
\( \int \frac{1}{\cos^2{x} } \; dx = \tan{x} + c \)
\( \int \frac{1}{\sin^2{x} } \; dx = - \cot{x} + c \)
\( \int \frac{1}{1+x^2} \; dx = \arctan{x} + c \)
Alapintegrálok lineáris helyettesítései
\( \int (ax+b)^n \; dx = \frac{ (ax+b)^{n+1}}{n+1} \frac{1}{a}+c \)
\( \int \frac{1}{ax+b} \; dx = \ln{ \mid ax+b \mid}\frac{1}{a} + c \)
\( \int e^{ax+b} \; dx = e^{ax+b}\frac{1}{a} + c \)
\( \int A^{ax+b} \; dx = \frac{A^{ax+b}}{\ln{A}}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \cos{(ax+b)} \; dx = \sin{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \sin{(ax+b)} \; dx = -\cos{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \frac{1}{\cos^2{(ax+b)} } \; dx = \tan{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \frac{1}{\sin^2{(ax+b)} } \; dx = - \cot{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \frac{1}{1+(ax+b)^2} \; dx = \arctan{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
Newton Leibniz formula
Ha $f(x)$ integrálható az $[a,b]$ intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor a Newton Leibniz formula szerint a határozott integrálját a következőképp számolhatjuk ki:
\( \int_{a}^{b} f(x) \; dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b)-F(a) \)
Integrálási szabályok | S1
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.
Integrálási szabályok | T1
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
\( \int \frac{ax+b}{cx+d} \; dx = \int \frac{ \frac{a}{c} (cx+d) + b - \frac{ad}{c} }{ cx+d} \; dx = \int \frac{ \frac{a}{c} (cx+d)}{cx+d} + \frac{E}{cx+d} \; dx = \)
\( = \int \frac{a}{c} + \frac{E}{cx+d} \; dx = \frac{a}{c}x + E \ln{ \mid cx + d \mid} \frac{1}{c} \)
Végezzük el az alábbi feladatokat.
a) \( f(x)=2x \qquad F(x)=\int f(x) \; dx = \; ? \)
b) \( f(x)=x^2 \qquad F(x)=\int f(x) \; dx = \; ? \)
c) \( \int_{0}^{1} x^2 \; dx = ? \)
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int (4x+3)^7 \; dx = \; ? \)
b) \( \int \frac{1}{6x+5} \; dx = \; ? \)
c) \( \int e^{-3x+7} \; dx = \; ? \)
d) \( \int 5^{2x+4} \; dx = \; ? \)
e) \( \int \cos{(12x+5)} \; dx = \; ? \)
f) \( \int \sin{(5x+9)} \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi feladatokat.
a) \( \int_0^1 x^2 \; dx = \; ? \)
b) Számoljuk ki, hogy mekkora a területe annak a tartománynak, ami az $f(x)=x^2-4x $ függvény és az x tengely között van a $[0,6]$ intervallumon.
a) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2$ és $g(x)=-x^2+4x+16$ függvények között van.
b) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2-6x+10$ és $g(x)=2x+10$ függvények között van.
Számoljuk ki az $f(x)=-x^2+3x+4$ függvény $x=3$-nál húzható érintője által határolt területet.
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int \left(x^2+x\right) \left( x^3+x^2+1 \right) \; dx = \; ? \)
b) \( \int \sqrt{x^7} \left( x^3 + \frac{1}{x} \right) \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int \frac{x^3+x^2+1}{x} \; dx = \; ? \)
b) \( \int \frac{e^{-x}+x^3}{x^3 e^{-x}} \; dx = \; ? \)
c) \( \int \frac{x+6}{x+2} \; dx = \; ? \)
d) \( \int \frac{4x+5}{2x+3} \; dx = \; ? \)
e) \( \int \frac{x+4}{\sqrt{x+3}} \; dx = \; ? \)
f) \( \int \tan^2{x} \; dx = \; ? \)
Az $f$ integrálható függvény a $[0,a]$ intervallumon, és primitív függvénye $F$. Számítsuk ki ezt az integrált:
\( I=\int_0^a f(x) \; dx \)
Határozzuk meg a $p>0$ paraméter értékét úgy, hogy $ \int_0^p (3x^2-24x+20) \; dx = 0$ teljesüljön!
Elmeséljük, mit jelent a határozott és a határozatlan integrálás, és azt is, hogyan kell ezeket kiszámolni. Határozott integrálás, Határozatlan integrálás, Primitív függvény, Newton Leibniz formula, Görbe alatti terület, Néhány függvény görbe alatti területe, A primitív függvény kiszámolása, Néhány függvény primitív függvénye, Integrálás feladatok, Integrálási szabályok, Primitív függvény keresés, A határozatlan integrál fogalma, A határozott integrál fogalma, Integrálás feladatok megoldással. Itt mindent megtudhatsz arról, hogyan kell integrálni. Már mutatjuk is: Határozott integrálás, Határozatlan integrálás, Integrálási képletek, Integrálási szabályok, Integrálás feladatok, Primitív függvény, Alapintegrálok, Egyszerűbb függvények integrálása, Lineáris helyettesítés. A határozott integrálás a függvények görbe alatti területének kiszámolására használható. Mutatjuk is, hogyan: Függvények görbe alatti területe, A határozott integrálás, A határozott integrálás fogalma, Határozott integrálás feladatok megoldással, Határozott integrál területszámítás, Newton-Leibniz formula, Primitív függvény, A primitív függvény megváltozása, Két függvény közötti terület kiszámolása.
Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény
aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.
Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:
f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.
A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.
Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.
Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.
Lássunk néhány példát.
Itt van mondjuk ez:
Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.
Ilyen függvény van, mégpedig az
Itt jön egy másik:
Olyan függvény is van, aminek deriváltja
Ha még emlékszünk rá
Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az
függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.
lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,
de elég annyit megjegyezni, hogy
Végül lássunk még egyet:
Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?
Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.
És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de
Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.
Sőt itt is, meg itt is.
Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.
A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.
Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor
ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t
Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.
Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.
Számoljuk ki például az
görbe alatti területét 0 és 1 között.
Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.
Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.
A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.
Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.
Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.
A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.
A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.
A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.
Itt van mindjárt az xn
Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.
Kis probléma van ugyan, ha
De éppen itt jön a megoldás.
Aztán végre egy biztos pont az életünkben.
A lista elég hosszú lesz.
És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.
Itt az egyik:
de
És itt a másik:
Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon
Logikusnak tűnik, hogy
De sajnos van egy kis gond:
Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.
Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.
Mondjuk ezen lehet segíteni.
Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel
akkor az integrálásnál szorozni kell -val
Vegyük például ezt:
Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.
Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.
Most pedig jöjjenek az izgalmak!
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.
Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.
Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.
A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.
Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:
Itt jön a primitív függvény:
És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.
Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
A terv a következő:
Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,
aztán a sárga függvény területét is,
végül a kettőt egymásból kivonjuk.
Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.
Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.
Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.
Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.
A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,
oldalai pedig x=a és x=b.
Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,
sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.
Az ilyen normáltartományok területe:
vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,
akkor fordítva.
Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
Először kiszámoljuk a metszéspontokat,
aztán jöhet az integrálás.
Van itt egy függvény,
amihez érintőt húzunk az x=3-nál.
Így keletkezik két tartomány.
Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,
a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.
Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.
Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.
Szerencsére éppen itt jön:
Most pedig térjünk a tárgyra.
A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.
Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:
A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.
Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.
Most pedig lássuk a területeket.
A keresett terület:
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk
Hát nem ez volt életünk legnehezebb integrálása.
És valószínűleg ez sem az lesz:
Itt az ideje, hogy lássunk valami érdekesebbet.
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
Ez a földarabolásos módszer általában akkor hasznos, ha a nevező egyetlen tagból áll, vagyis ha nincs a nevezőben összeadás.
De néha előfordulhat, hogy akkor is működik, ha van.
Vannak aztán egészen trükkös esetek is.
Na ennyit a feldarabolásról.
