- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
A parabola (emelt szint)
Parabola
A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy $v$ egyenestől (vezéregyenes) és az egyenesre nem illeszkedő $F$ ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak.
A fókusz és a vezéregyenes távolságát hívjuk a parabola paraméterének.
Parabola egyenlete
A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy $v$ egyenestől (vezéregyenes) és az egyenesre nem illeszkedő $F$ ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak. A fókusz és a vezéregyenes távolságát hívjuk a parabola paraméterének. A fókuszbúl a vezéregyenesre bocsátott merőleges felezőpontja a parabola "csúcspontja" amit tegelypontnak szokás nevezni.
A $T(u,v)$ tengelypontú és $p$ paraméterű parabola egyenlete:
\( y = \frac{1}{2p} (x-u)^2 + v \)
Elforgatott parabola egyenletek
A parabola egyenlete, ha $p$ a paramétere...
és tengelye az $y$ tengely:
\( y = \frac{1}{2p} x^2 \qquad y= -\frac{1}{2p} x^2 \)
és tengelye az $x$ tengely:
\( x = \frac{1}{2p}y^2 \qquad x= -\frac{1}{2p} y^2 \)
a) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelye az \( y \) tengely, tengelypontja az origó és fókusza az \( F(0,3) \) pont.
b) Írjuk fel annak a parabolának az egyenletét, melynek paramétere 2, és tengelypontja T(3,-1). Adjuk meg a fókuszpontjának koordinátáit és vezéregyenesének egyenletét.
a) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja az origó, tengelye vízszintes, és \( x=3 \) a vezéregyenese.
b) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja az origó, tengelye függőleges, és átmegy a \( P(4,-2) \) ponton.
a) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja a \( T(3,4) \) pont, és átmegy a \( P(9,10) \) ponton.
b) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű, felfelé nyitott parabolának az egyenletét, melynek fókuszpontja \( F(3,1) \), és átmegy a \( P(-1,4) \) ponton.
c) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek vezéregyenese \( y=2 \), és fókuszpontja \( F(1,8) \).
d) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek vezéregyenese \( y=1 \), és tengelypontja \( T(3,5) \).
Az \( f(x)=x^2-12x+27 \) függvény grafikonja a derékszögű koordinátarendszerben parabola.
a) Számítsuk ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit.
b) Írjuk fel a parabolához az \( E(5,-8) \) pontjában húzott érintő egyenletét!
Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek egy pontja a \( P(1,-1) \), vezéregyenese \( y=-3 \) és a fókuszpontja rajta van az \( y=2x+1 \) egyenletű egyenesen.
Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, amely átmegy az \( A(-2,3) \), \( B(4,0) \) és \( C(8,8) \) pontokon, és tengelye az \( y \) tengellyel párhuzamos.
Egy felújításra váró függőhíd két támpillérének távolsága PV=200 m. A fő tartókábel alakja egy olyan parabolának az íve, melynek a tengelypontja a PV felezőpontja, tengelye pedig a PV felezőmerőlegese. A kábel tartópillérének legnagyobb magassága PQ=16 m, a felújításhoz PS=50 m széles védőhálót feszítenek ki. A tervek szerint a háló a QR íven felfüggesztett PQRS területet fedi majd be. Hány \(m^2 \) területű háló kell, ha a rögzítések miatt 8% veszteséggel kell számolnunk?
Számítsuk ki az alább látható, két egybevágó parabolaív alatti területet. A parabolák tengelye párhuzamos az \( AB \) szakasz szakaszfelezőmerőlegesével. Az \(AB= 8 m\), \(FC=6 m \), \(DE=2,5 m \).
Elmeséljük, mi az a parabola, hogyan kell felírni a parabola egyenletét, ha ismerjük a vezéregyenest, a fókuszt, vagy épp a tengelypontot. Megnézzük a parabola tengelyponti egyenletét, és sok-sok feladatot, részletes megoldással együtt. A parabola egyenlete alapján felrajzoljuk a parabolát és fordítva, a parabola bizonyos pontjainak ismeretében felírjuk a parabola egyenletét. Nézd meg, hogyan kell parabolás koordinátageometria feladatokat megoldani. Nálunk gyorsan és egyszerűen kiderül, hogy mi az a vezéregyenes, mi a fókusz, hogyan lehet felírni a parabola egyenletét, ha ismert néhány ontja vagy épp a tengelypont vagy a vezéregyenes. Parabolás feladatok megoldásokkal, lépésről lépésre.
