- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Elsőfokú egyenletek
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Szöveges feladatok
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Elsőfokú egyenletek
Mérleg elv
A mérleg elv lényege, hogy amikor megoldunk egy egyenletet, az egyenlőségjel mindkét oldalán ugyanazokat a műveleteket kell elvégeznünk. Az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadhatjuk, vagy az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonhatjuk. És az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nem nulla számmal megszorozhatjuk, vagy mindkét oldalt ugyanazzal a nem nulla számmal eloszthatjuk. Vagyis:
- ha elveszünk egy számot az egyik oldalról, akkor a másik oldalról is el kell venni
- ha hozzáadunk egy számot az egyik oldalhoz, akkor a másik oldalhoz is hozzá kell adni
-ha szorozzuk az egyik oldalt egy nem nulla számmal, akkor a másik oldalt is szorozni kell ugyanezzel a számmal
-ha osztjuk az egyik oldalt egy nem nulla számmal, akkor a másik oldalt is osztani kell ugyanezzel a számmal
Az összeadás, kivonás és szorzás egymásutáni lépéseivel jutunk el a megoldáshoz.
Elsőfokú egyenletek megoldása
A megoldás lényege, hogy gyűjtsük össze az $x$-eket az egyik oldalon, a másik oldalon pedig a számokat, a végén pedig leosztunk az $x$ együtthatójával.
Ha törtet is látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel.
Törtes elsőfokú egyenletek megoldása
Ha törtet látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel.
Figyeljünk rá, hogy ilyenkor az egyenlet minden tagját meg kell szorozni (a tagokat $+$,$-$ vagy $=$ jelek választják el egymástól...).
Miután megszabadultunk a törtektől az egyenlet megoldásának lépései a szokásosak a mérleg elv segítségével.
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $x+3=10$
b) $3x+4=x+10$
c) $2x-5=x+2$
d) $2x-4=5-x$
e) $5x-3=4+x$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $2\cdot (x-3)=4$
b) $3\cdot (x-1)=2\cdot (x+2)$
c) $5-2\cdot(x-3)=8$
d) $2x-2\cdot (x+4)=3\cdot (x-1)+7$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $x+5 = \frac{3}{4}$
b) $x+\frac{5}{3} = 10$
c) $\frac{x}{4} + 5 =2x$
d) $\frac{x}{3}+10=\frac{5}{4}$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $\frac{x+2}{3} = \frac{3x-1}{2}$
b) $\frac{x-1}{3} = \frac{2x+3}{5}$
c) $\frac{x-1}{2} = \frac{2x+2}{5}+1$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $\frac{x+2}{3} = \frac{3x-1}{2} $
b) $\frac{x-1}{3} = \frac{2x+3}{5}$
c) $\frac{x-1}{2} = \frac{2x+2}{5} + 1$
d) $\frac{x+4}{2} + \frac{x-1}{3} + \frac{2x+5}{5} = 15$
e) $\frac{x+2}{4} + \frac{2x+3}{5} = \frac{4x-9}{3} $
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $\frac{x-1}{4} + \frac{2x+5}{5}=\frac{x-9}{8}+\frac{8x+5}{10}$
b) $\frac{x-4}{6} + \frac{x+8}{12} +2 = \frac{3x-8}{4} - \frac{2x+4}{9}$
Ez itt egy egyenlet…
És most megnézzük, hogyan lehet egy egyenletet megoldani.
A megoldás lényege, hogy kiderül, mennyi az x.
Egy trükkös módszert fogunk használni, amit mérleg-elvnek neveztek el.
A mérleg-elv úgy működik, hogyha elveszünk az egyik oldalról 3-at…
Akkor a másik oldalról is el kell venni 3-at, hogy megmaradjon az egyensúly.
És hopp, meg is kaptuk az x-et.
Így meg is van, hogy mennyi az x.
Ez eddig elég egyszerűnek tűnik.
Nézzünk meg egy másikat is:
Kezdjük azzal, hogy innen elvesszük ezt a 4-et…
Ahhoz, hogy megmaradjon az egyensúly, a másik oldalról is el kell venni 4-et…
De még mindig nem tudjuk, hogy mennyi az x…
A gondot az okozza, hogy x mindkét oldalon szerepel…
Így aztán elvesszük innen ezt az x-et...
De akkor innen a másik oldalról is el kell venni az x-ekből egyet.
Most már nagyon közel járunk a megoldáshoz…
Mindkét oldalt elfelezzük…
Ez az egyenlet megoldása.
És most tökéletesítjük egy kicsit a mérleg-elvet…
Itt jön egy újabb egyenlet:
És kész is, ez az egyenlet megoldása.
Nézzünk meg még egyet…
Megszabadulunk itt ettől az x-től…
Az x-eket sikerült is összegyűjteni az egyik oldalra…
Már csak ezt kéne innen eltüntetni.
És itt jön egy harmadik egyenlet is…
Meg is van, ez az egyenlet megoldása.
Kezdjük azzal, hogy kinyiffantjuk itt ezt az x-et.
Pakoljuk föl a mérlegre…
Hát, ezzel már bajban leszünk…
Talán valahogy így…
Nem, így mégse lesz jó…
A mérleget most tegyük félre, és maradjunk csak a mérleg-elvnél.
A megoldás lényege, hogy az x-eket összegyűjtjük az egyik oldalon…
Az teljesen mindegy, hogy melyik oldalon.
Itt több x van, úgyhogy gyűjtsük mondjuk ide.
Kinyiffantjuk innen ezt az x-et…
És a számokat meg átrakjuk a másik oldalra.
Hát igen, ez még egy régi típusú mérleg, manapság már digitális mérlegeket használnak.
Kezd durvulni a helyzet…
Itt már két tört is van.
És most meg kell szabadulnunk még ettől a 4-estől is.
A törtes egyenleteket úgy érdemes megoldani, hogy először eltüntetjük a törteket.
És most jöhet egy kis zárójelfelbontás…
Tipikus hiba, hogy ezt az 1-et elfelejtjük beszorozni…
