- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Koordinátageometria
Egyenes normálvektora
A normálvektor az egyenesre merőleges nem nullvektor.
Egyenes irányvektora
Az irányvektor az egyenessel párhuzamos nem nullvektor.
Az egyenes egyenlete
Az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú és a $P(x_0,y_0)$ ponton átmenő $e$ egyenes egyenlete:
\( e: A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 \)
Kör egyenlete
$C(u,v)$ középpontú és $r$ sugarú kör egyenlete:
\( (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 \)
Pont és egyenes távolsága a koordinátarendszerben
Egy $P$ pontnak az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú $e$ egyenestől mért távolsága:
\( d(P, e) = \bigm| \frac{ e(P)}{ \sqrt{A^2+B^2} } \bigm| \)
Itt $e(P)$ azt jelenti, hogy a $P$ pont koordinátáit behelyettesítjük az $e$ egyenes egyenletébe.
Van két pont a koordináta-rendszerben: $A(2,4)$ és $B(5,2)$.
a) Mik az $\vec{AB}$ vektor koordinátái?
b) $\underline{a}+\underline{b}=?$
c) Mi az $AB$ szakasz felezőpontja?
d) $\underline{a}$ vektor hossza?
e) $\vec{AB}$ vektor hossza?
f) $AB$ szakasz hossza?
a) Itt van ez a két vektor:
$\underline{a}=(2,4)$ és $\underline{b}=(5,2)$
Mekkora a két vektor által bezárt szög?
b) Adjuk meg az $\underline{a}=(5,3)$ vektor +90°-os elforgatottját.
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Írjuk fel az egyenes egyenletét ezekből az adatokból: $P(3,4), \; \underline{n}=(6,7)$
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami áthalad a $P(3,4)$ és $Q(7,9)$ pontokon.
c) Határozzuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját:
\( e_1: 3x+4y=10 \)
\( e_2: 6x+y=13 \)
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami átmegy az $A(1,2)$ és $B(6,5)$ pontokon.
a) Van két egyenes: $y=\frac{2}{3}x+1$ és $x+2y=6$. Számoljuk ki az egyenes $P$ metszéspontját.
b) Van két egyenes: $y=2x+4$ és $y=2x-2$. Számoljuk ki az egyenes $P$ metszéspontját.
c) Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az $y=4x+5$ egyenletű egyenessel, és átmegy a $P(3,1)$ ponton.
Az $ABC$ háromszög csúcsai: $A(-4,-2)$, $B(2,2)$, $C(-4,4)$
Írjuk fel a $C$ csúcson átmenő magasságvonal egyenesének egyenletét!
a) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 $
b) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x+1)^2+(y-2)^2=9$ és döntsük el, hogy a $P(1,5)$ és a $Q(2,2)$ pontok a körhöz képest hol helyezkednek el.
a) Egy kör középpontja a $K(4,2)$ pont, és a kör átmegy a $P(1,3)$ ponton. Mekkora a kör sugara? Írjuk fel a kör egyenletét, és döntsük el, hogy a $Q(3,5)$ pont rajta van-e a körön.
b) Egy derékszögű háromszög három csúcsa: $A(6,1)$, $B(-2,3)$, $C(3,-2)$ és a C csúcsnál derékszög van.
- Írjuk föl a $C$ csúcson átmenő súlyvonal egyenletét.
- Írjuk föl a háromszög köré írható körének egyenletét.
a) Írjuk fel a $C(3,1)$ középpontú és $r=3$ sugarú kör egyenletét.
b) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $(x-2)^2+(y-1)^2=16$
c) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $(x+3)^2+(y+2)^2=4$
d) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $x^2+y^2-6x-2y=10$
e) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $x^2-8x+y^2+2y=-8$
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Milyen távol vannak a $Q(1,3)$ és $R(6,3)$ pontok az $e$ egyenestől, ha $e: 3x-4y-6=0$.
b) Egy háromszög csúcsai $A(-2,-3)$, $B(6,3)$, $C(-1,6)$. Határozzuk meg ebben a háromszögben a $c$ oldal hosszát és a $C$ csúcsához tartozó magasságvonal hosszát.
Keressük annak a körnek az egyenletét, ami érinti a koordinátatengelyeket, és átmegy a $P(1,2)$ ponton.
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Hogyan kell $m$ értékét megválasztani úgy, hogy az $y=mx+4$ egyenes áthaladjon a $2x-y+1=0$ és az $y=x+5$ egyenesek metszéspontján?
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az $x-3y-6=0$ és a $4x+y=0$ egyenesek metszéspontján és normálvektora $(3,1)$.
c) Írjuk fel a háromszög oldalegyeneseinek egyenletét, ha az egyik csúcsa $A(3,-4)$, és két magasságvonalának egyenlete $7x-2y-1=0$ és $2x-7y-6=0$.
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Mekkora szögben metszi a $3x+2y=5$ egyenletű egyenes az $x$ tengelyt?
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a $P(2,4)$ ponton, és 45 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel.
c) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely 60 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel és az $y$ tengelyt 4-ben metszi.
d) Egy egyenes átmegy a $P(2,5)$ és a $Q(4,1)$ pontokon. Mekkora szögben metszi az $x$ tengelyt?
Mekkorák a háromszög magasságai, ha csúcsai: $A(-4,6)$, $B(-2,-3)$, $C(4,5)$?
Egy háromszög oldalegyeneseinek az egyenlete: $5x+2y-29=0$, $9x-y-43=0$, $14x+y-49=0$. Milyen messze van a háromszög súlypontja a háromszög oldalaitól?
Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja az $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.
Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-1,-1)$, $B(1,5)$, $C(7,-2)$.
Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$, és számítsuk ki a magasságpont koordinátáit is.
Határozzuk meg a $(-1,0)$, $(5,0)$ és $(1,4)$ csúcsokkal megadott háromszög súlypontjának, magasságpontjának és a körülírt kör középpontjának a koordinátáit.
Adott az $ABC$ háromszög, $A(-1,1)$, $B(7,3)$ és $C(3,9)$ csúcsai.
a) Határozzuk meg a súlypont koordinátáit!
b) Határozzuk meg a köré írható kör középpontjának koordinátáit!
c) Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit!
Adott az $ABC$ háromszög, $A(-2,-3)$, $B(6,3)$ és $C(-1,6)$ csúcsai. Mekkora az $AB$ oldal, és a hozzá tartozó magasság? Mekkora az $AB$ oldalhoz tartozó súlyvonal?
Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja az $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.
Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ a $Q(8,2)$ és az $R(-1,-1)$ pontokon.
Egy rombusz rövidebbik átlójának két végpontja: $B(9,-1)$ és $D(1,5)$. A hosszabbik átló a rövidebb átló kétszerese. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit.
Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a $(2,9)$ ponton áthalad, és mindkét koordináta tengelyt érinti.
Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,0)$, valamint a $Q(-1,2)$ ponton és középpontja az $x-y+2=0$ egyenletű egyenesen van.
Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(-2,-3)$ ponton, és az $e: 4x-3y=26$ egyenest az 5 abszcisszájú pontjában érinti.
Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(5,7)$ ponton, és az $e: 4x+3y=42$ egyenest a 6 abszcisszájú pontjában érinti.
Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, melynek sugara $2 \sqrt{5}$ és az $e: x+2y-9=0$ egyenes érinti a $P(5,2)$ pontban.
Keressük meg annak az $x$ tengelyt érinő körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(5,2)$ ponton és középpontja az $x+y=6$ egyenletű egyenesen van.
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,7)$ ponton és az $e: x+3y-19=0$ és az $f: 2x-y+15=0$ egyenesek metszéspontján.
Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(8,5)$, valamint a $Q(2,-3)$ ponton és a középpontja az $x+3y=8$ egyenletű egyenesen van.
Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,14)$, $Q(12,-10)$, valamint az $R(-5,7)$ pontokon.
Itt végre érteni fogod a koordináta geometriát, sőt ki fog derülni, hogy nagyon egyszerű. Megnézzük mik azok a vektorok, hogyan kell kiszámolni a hosszukat, két vektor szögét, aztán az is kiderül, hogyan jön ki egy szakasz felezőpontja, két pont távolsága. Elmeséljük mi az, hogy az egyenes egyenlete, egyáltalán mi értelme van ennek, nézünk sok-sok példát egyenes egyenletének a felírására. Kiszámoljuk egy pontnak és egy egyenesnek a távolságát, sőt készítünk egy egyszerű kis képletet, amivel bármelyik egyenesnek bármelyik ponttól mért távolsága szuper-egyszerűen kiszámolható. Aztán jön a kör kanonikus egyenlete, gyakoroljuk egy kicsit a teljes négyzetté kiegészítést is. Ezek után rengeteg koordinátageometria feladat kövezik körökkel, egyenesekkel, háromszögek nevezetes pontjaival, magaságponttal, a súlyponttal, a körülírt kör középpontjával. Minden koordinátageometria feladat részletes megoldással.
Itt ez a koordinátarendszer, és benne néhány pont.
Az A pontnak az x koordinátája 2, az y pedig 4.
A B pont koordinátái 1 és 2…
És ez pedig a C.
Mindhárom pont ugyanazzal a különleges képességgel rendelkezik…
Egy olyan kulcs birtokában vannak, amely képes kinyitni az univerzum titkos ajtóit.
Nem, ezzel mégsem rendelkeznek, viszont azt tudják, hogy az y koordinátájuk az x-nek a kétszerese.
Azért ez is valami…
Azok a pontok, amik azt tudják, hogy az y koordinátájuk az x-nek a kétszerese, egy egyenesen helyezkednek el.
Ezen az egyenesen itt.
És ez pedig az egyenes egyenlete:
Hogyha egy pont rajta van az egyenesen…
Akkor a koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve az teljesül.
Olyankor viszont, amikor a pont nincs rajta az egyenesen…
A koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve az nem teljesül.
Itt egy másik egyenes…
És két dolgot érdemes róla tudni.
Az egyik, hogy milyen meredeken megy…
Ezt meredekségnek hívjuk, és így jön ki:
A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt.
Ezt úgy hívjuk, hogy tengelymetszet, és a jele b.
És ez pedig az egyenes egyenlete.
Pontosabban az egyenes egyenletének a meredekséges alakja.
Próbáljuk is ki ezt a képletet erre az egyenesre itt.
Ezt hívjuk az egyenes egyenletének.
Azok az egyenesek, amelyeknek a meredeksége egyforma, egymással párhuzamosak.
Nézzük meg például, hogy mi lesz annak az egyenesnek az egyenlete, ami ezzel párhuzamos, és átmegy a P(3,2) ponton.
Hát, az biztos, hogy a meredeksége 2…
A P ponton pedig akkor megy át, hogyha a pont koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve az teljesül.
És most nézzük, hogyan tudjuk felírni annak az egyenesnek az egyenletét, ami átmegy ezeken a pontokon…
A meredekséggel kezdjük…
Itt jön az egyenes egyenlete:
Itt jön most egy másik egyenes:
Most pedig még el kell intéznünk, hogy menjen át az A ponton.
Sőt, a B ponton is át kéne mennie…
Hogyha a meredekség már megvan, a két pont közül elég az egyiket behelyettesíteni…
Az mindegy, hogy melyiket.
Feldobhatunk például egy érmét, és ha fej, akkor az A-t helyettesítjük be, ha írás, akkor a B-t.
De az izgalmak még csak most jönnek…
Ez itt egy egyenes…
És két dolgot érdemes róla tudni.
Az egyik, hogy milyen meredeken megy, ezt hívjuk meredekségnek…
A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi az y tengelyt.
Itt jön aztán egy másik egyenes…
Aminek az egyenlete:
Számoljuk ki az egyenesek metszéspontjának koordinátáit.
A metszéspontot hívjuk mondjuk P-nek.
Ennek a P pontnak van egy különleges tulajdonsága.
Egyszerre van rajta mindkét egyenesen.
Vagyis egyszerre kell teljesülnie mindkét egyenletnek.
Hát igen, ezt úgy hívják, hogy egyenletrendszer.
Meg is vannak a metszéspont koordinátái.
Nézzük meg ezeket az egyeneseket is…
Számoljuk ki a metszéspontjuk koordinátáit.
Az egyik egyenesünk meredeksége 2…
És a másik egyenes meredeksége is 2…
Ezek egyforma meredek egyenesek.
Vagyis egymással párhuzamosak.
És így nincs metszéspontjuk.
Ezt jó tudni, épp most spóroltuk meg egy egyenletrendszer megoldását…
Ha két egyenes egyenlete
ezek pontosan akkor párhuzamosak, ha
Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az y=4x+5 egyenletű egyenessel, és átmegy a P(3,1) ponton.
Készítsünk egy rajzot…
Ehhez a feladathoz egy ilyen rajz is bőven elég…
A keresett egyenes egyenlete:
Akkor lesz párhuzamos a másik egyenessel, ha a meredekségeik egyenlők…
És akkor megy át a P ponton, ha a koordinátáit behelyettesítve az egyenletbe, az teljesül.
Most pedig nézzük, hogy két egyenes mikor lesz egymásra merőleges…
Ezzel folytatjuk…
Itt van ez az egyenes, aminek a meredeksége 2 és az y tengelyt 1-nél metszi…
És az egyenlete…
Hogyha ezt a kis háromszöget itt elforgatjuk 90 fokkal…
Akkor a meredekség ez lesz…
Ez a két egyenes éppen egymásra merőleges.
És az összes többi is, aminek a meredeksége -1/2.
A dolog minden egyenesre igaz.
Két egyenes pontosan akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata -1.
De azért van még itt egy kis csalás.
Létezik ugyanis egy olyan egyenes, aminek nincs meredeksége.
A függőleges egyenesnek…
Az y tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete:
Az x tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete pedig:
Ezeknek egyébként van meredekségük…
Mégpedig a meredekség nulla.
És most lássuk, mire használhatnánk mindezt, jóra vagy rosszra…
Ez a három pont egy háromszög három csúcsa.
Írjuk föl a C csúcson átmenő magasságvonal egyenesének egyenletét.
Hogyha ránk törnek a régi emlékek…
Hogy mi is volt egy háromszögben a magasságvonal…
A C csúcson átmenő magasságvonal az AB oldal egyenesére bocsájtott merőleges.
Ez itt az AB oldal egyenese…
És ez pedig a C-n átmenő merőleges.
Kezdjük azzal, hogy írjuk föl az AB oldal egyenes egyenletét.
Nézzük, mekkora a meredekség:
A b-t úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy olyan pontot, ami rajta van az egyenesen…
És a koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe.
Itt van, mondjuk ez a pont.
A magasságvonal erre merőleges lesz…
Így hát a meredekségek szorzata:
Itt jön a magasságvonal egyenlete:
Ez akkor fog átmenni a C csúcson, ha behelyettesítve a C csúcs koordinátáit az egyenlet teljesül.
A kör egyenleténél tartottunk…
Írjuk fel például ennek a körnek az egyenletét.
Ez itt a kör középpontja:
És ugyanezt megnéztük fordítva is…
Ábrázoljuk azt a kört, aminek ez az egyenlete:
Az egyetlen izgalmat az okozza, amikor a kör középpontjának valamelyik koordinátája negatív…
Itt van például ez:
A kör egyenletében itt kivonásnak kell lennie…
És tessék, az is van.
Most pedig lássuk, hogyan tehetnénk mindezt még izgalmasabbá…
Nézzük meg, hogyan néz ki az a kör, aminek az egyenlete ez:
Egy kör középpontja a pont, és a kör átmegy a ponton. Mekkora a kör sugara? Írjuk fel a kör egyenletét, és döntsük el, hogy a pont rajta van-e a körön.
A kör sugara éppen ekkora…
A K pontnak és a P pontnak a távolsága.
Itt is jön a távolságképlet:
Itt van ez az egyenes, aminek a meredeksége 2 és az y tengelyt 1-nél metszi…
És most jöhet a kör egyenlete:
Nézzük aztán, mi a helyzet a Q ponttal…
Hát, ez valahol itt van…
Így ránézésre rajta van a körön.
Egy kissé precízebben, akkor van rajta a Q pont a körön, ha a koordinátáit a kör egyenletébe helyettesítve az teljesül.
A Q pont tehát rajta van a körön.
Egy derékszögű háromszög három csúcsa:
A derékszög a C csúcsnál van.
Írjuk föl a C csúcson átmenő súlyvonal egyenletét
Írjuk föl a háromszög köré írható körének egyenletét.
Íme, a háromszög…
És ez pedig a súlyvonal.
Hogyha egy hipnózis segítségével felidézzük az általános iskolás emlékeinket…
Különösen azokat a részeket, amik a súlyvonalakkal kapcsolatosak…
Akkor talán bevillan egy kép, hogy a súlyvonal a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.
Ez tehát egy felezőpont.
És a szakasz felezőpontjának koordinátái:
A súlyvonal egyenlete innen már sima ügy.
Egy olyan egyenes egyenletét keressük, ami átmegy a C és a D ponton.
A b-t úgy kapjuk meg, hogy a C vagy a D pont koordinátáit behelyettesítjük.
Az mindegy, hogy melyiket.
Legyen mondjuk a C.
Meg is van a súlyvonal egyenlete.
És most nézzük a háromszög köré írható kör egyenletét.
Egy újabb hipnózis…
Ezúttal Thalész…
A derékszögű háromszögek köré írható köre a Thalész-kör.
Aminek a középpontja az átfogó felezőpontja.
A kör sugara pedig…
Az A és D pontok távolsága.
Vagy épp a B és D pontok távolsága.
Vagy a C és D pontok távolsága.
Mindegyik ugyanakkora.
És itt jön a kör egyenlete:
