Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Középiskolai matek (teljes)

Kategóriák
  • Algebra, nevezetes azonosságok
  • Halmazok
  • Gráfok
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • Számelmélet
  • Elsőfokú egyenletek
  • Elsőfokú függvények
  • Függvények ábrázolása
  • Másodfokú egyenletek
  • Egyenlőtlenségek
  • Síkgeometria
  • Egybevágósági transzformációk
  • Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Egyenletrendszerek
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Szöveges feladatok
  • Középpontos hasonlóság
  • Trigonometria
  • Kombinatorika
  • Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
  • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
  • Szinusztétel és koszinusztétel
  • Feladatok függvényekkel
  • Vektorok
  • Koordinátageometria
  • A parabola (emelt szint)
  • A teljes indukció (emelt szint)
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Térgeometria
  • Valószínűségszámítás
  • A várható érték
  • Statisztika
  • Vegyes emelt szintű feladatok
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Koordinátageometria

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
Vektorok összeadása, hossza, skaláris szorzata, és 90°-os forgatása
01
 
Koordinátageometria teszt
02
 
Az egyenes egyenlete, egyenesek metszéspontja
03
 
Pont és egyenes távolsága
04
 
A kör egyenlete
05
 
FELADAT | kör egyenlete
06
 
FELADAT | egyenesek egyenletei és metszéspontjai
07
 
Hogyan kell kiszámolni egy háromszögben a súlypont, magasságpont és az O pont koordinátáit
08
 
Egy háromszögben a magasságvonalak hossza
09
 
FELADAT | háromszög súlyvonalai és súlypontja
10
 
FELADAT | háromszög területe
11
 
FELADAT | háromszög magasságpontja
12
 
FELADAT | háromszög nevezetes pontjai
13
 
FELADAT | háromszög magasságvonala és oldalai
14
 
Az egyenes iránytangenses egyenlete
15
 
FELADAT | kör egyenlete
16
 
FELADAT | Kör egyenlete három pontja alapján
17
 
FELADAT | Rombusz csúcsai vektorokkal
18
 
FELADAT | Koordinátatengelyeket érintő kör
19
 
FELADAT | Kör egyenlete
20
 
FELADAT | Kör és a kört érintő egyenes
21
 
FELADAT | Még egy kör és a kört érintő egyenes
22
 
FELADAT | kör egyenlete
23
 
FELADAT | kör egyenlete
24
 
FELADAT | egyenes egyenlete
25
 
FELADAT | Kör egyenlete
26
 
FELADAT | Kör egyenlete
27
 
FELADAT | kör egyenlete

Az egyenes egyenlete

Az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú és a $P(x_0,y_0)$ ponton átmenő $e$ egyenes egyenlete:

\( e: A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egyenes irányvektora

Az irányvektor az egyenessel párhuzamos nem nullvektor.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egyenes normálvektora

A normálvektor az egyenesre merőleges nem nullvektor.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Pont és egyenes távolsága a koordinátarendszerben

Egy $P$ pontnak az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú $e$ egyenestől mért távolsága:

\( d(P, e) = \bigm|  \frac{ e(P)}{ \sqrt{A^2+B^2} }  \bigm| \)

Itt $e(P)$ azt jelenti, hogy a $P$ pont koordinátáit behelyettesítjük az $e$ egyenes egyenletébe.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kör egyenlete

$C(u,v)$ középpontú és $r$ sugarú kör egyenlete:

\( (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Adottak az $ \underline{a}=(x,3) $ és $ \underline{b}=(5,2) $ vektorok. Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy a két vektor merőleges legyen egymásra.

b) Adjuk meg a +90° és -90°-os elforgatottját az $ \underline{a}=(3,2) $ vektornak.

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Írjuk fel az egyenes egyenletét ezekből az adatokból: $P(3,4), \; \underline{n}=(6,7)$

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami áthalad a $P(3,4)$ és $Q(7,9)$ pontokon.

c) Határozzuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját:

\( e_1: 3x+4y=10 \)

\( e_2: 6x+y=13 \)

d) Számoljuk ki az $ABC$ háromszög magasságpontjának koordinátáit, ha $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$.

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Milyen távol vannak a $Q(1,3)$ és $R(6,3)$ pontok az $e$ egyenestől, ha $e: 3x-4y-6=0$.

b) Egy háromszög csúcsai $A(-2,-3)$, $B(6,3)$, $C(-1,6)$. Határozzuk meg ebben a háromszögben a $c$ oldal hosszát és a $C$ csúcsához tartozó magasságvonal hosszát.

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x-2)^2 + (y+2)^2 = 4 $

b) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2+y^2-6x-2y=10 $

c) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2-8x+y^2+2y=-8 $

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Keressük annak a körnek az egyenletét, ami érinti a koordinátatengelyeket, és átmegy a $P(1,2)$ ponton.

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Hogyan kell $m$ értékét megválasztani úgy, hogy az $y=mx+4$ egyenes áthaladjon a $2x-y+1=0$ és az $y=x+5$ egyenesek metszéspontján?

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az $x-3y-6=0$ és a $4x+y=0$ egyenesek metszéspontján és normálvektora $(3,1)$.

c) Írjuk fel a háromszög oldalegyeneseinek egyenletét, ha az egyik csúcsa $A(3,-4)$, és két magasságvonalának egyenlete $7x-2y-1=0$ és $2x-7y-6=0$.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Határozzuk meg a $(-1,0)$, $(5,0)$ és $(1,4)$ csúcsokkal megadott háromszög súlypontjának, magasságpontjának és a körülírt kör középpontjának a koordinátáit.

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Mekkorák a háromszög magasságai, ha csúcsai: $A(-4,6)$, $B(-2,-3)$, $C(4,5)$?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Egy háromszög oldalegyeneseinek az egyenlete: $5x+2y-29=0$, $9x-y-43=0$, $14x+y-49=0$. Milyen messze van a háromszög súlypontja a háromszög oldalaitól?

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-1,-1)$, $B(1,5)$, $C(7,-2)$.

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$, és számítsuk ki a magasságpont koordinátáit is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Adott az $ABC$ háromszög, $A(-1,1)$, $B(7,3)$ és $C(3,9)$ csúcsai.

a) Határozzuk meg a súlypont koordinátáit!

b) Határozzuk meg a köré írható kör középpontjának koordinátáit!

c) Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit!

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Adott az $ABC$ háromszög, $A(-2,-3)$, $B(6,3)$ és $C(-1,6)$ csúcsai. Mekkora az $AB$ oldal, és a hozzá tartozó magasság? Mekkora az $AB$ oldalhoz tartozó súlyvonal?

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Mekkora szögben metszi a $3x+2y=5$ egyenletű egyenes az $x$ tengelyt?

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a $P(2,4)$ ponton, és 45 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel.

c) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely 60 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel és az $y$ tengelyt 4-ben metszi.

d) Egy egyenes átmegy a $P(2,5)$ és a $Q(4,1)$ pontokon. Mekkora szögben metszi az $x$ tengelyt?

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja az $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja az $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ a $Q(8,2)$ és az $R(-1,-1)$ pontokon.

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Egy rombusz rövidebbik átlójának két végpontja: $B(9,-1)$ és $D(1,5)$. A hosszabbik átló a rövidebb átló kétszerese. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit.

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a $(2,9)$ ponton áthalad, és mindkét koordináta tengelyt érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,0)$, valamint a $Q(-1,2)$ ponton és középpontja az $x-y+2=0$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(-2,-3)$ ponton, és az $e: 4x-3y=26$ egyenest az 5 abszcisszájú pontjában érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(5,7)$ ponton, és az $e: 4x+3y=42$ egyenest a 6 abszcisszájú pontjában érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, melynek sugara $2 \sqrt{5}$ és az $e: x+2y-9=0$ egyenes érinti a $P(5,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, melynek sugara $2\sqrt{5}$ és az $e: \; x+2y-9=0$ egyenes érinti a $P(5,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,7)$ ponton és az $e: x+3y-19=0$ és az $f: 2x-y+15=0$ egyenesek metszéspontján.

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(8,5)$, valamint a $Q(2,-3)$ ponton és a középpontja az $x+3y=8$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,14)$, $Q(12,-10)$, valamint az $R(-5,7)$ pontokon.

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Keressük meg annak az $x$ tengelyt érinő körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(5,2)$ ponton és középpontja az $x+y=6$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt végre érteni fogod a koordináta geometriát, sőt ki fog derülni, hogy nagyon egyszerű. Megnézzük mik azok a vektorok, hogyan kell kiszámolni a hosszukat, két vektor szögét, aztán az is kiderül, hogyan jön ki egy szakasz felezőpontja, két pont távolsága. Elmeséljük mi az, hogy az egyenes egyenlete, egyáltalán mi értelme van ennek, nézünk sok-sok példát egyenes egyenletének a felírására. Kiszámoljuk egy pontnak és egy egyenesnek a távolságát, sőt készítünk egy egyszerű kis képletet, amivel bármelyik egyenesnek bármelyik ponttól mért távolsága szuper-egyszerűen kiszámolható. Aztán jön a kör kanonikus egyenlete, gyakoroljuk egy kicsit a teljes négyzetté kiegészítést is. Ezek után rengeteg koordinátageometria feladat kövezik körökkel, egyenesekkel, háromszögek nevezetes pontjaival,  magaságponttal, a súlyponttal, a körülírt kör középpontjával. Minden koordinátageometria feladat részletes megoldással.



FELADAT | kör egyenlete

Vektorok összeadása, hossza, skaláris szorzata, és 90°-os forgatása

FELADAT | egyenesek egyenletei és metszéspontjai

Az egyenes egyenlete, egyenesek metszéspontja

Pont és egyenes távolsága

Hogyan kell kiszámolni egy háromszögben a súlypont, magasságpont és az O pont koordinátáit

Egy háromszögben a magasságvonalak hossza

FELADAT | háromszög súlyvonalai és súlypontja

FELADAT | háromszög területe

FELADAT | háromszög magasságpontja

FELADAT | háromszög nevezetes pontjai

FELADAT | háromszög magasságvonala és oldalai

FELADAT | kör egyenlete

A kör egyenlete

FELADAT | Kör egyenlete

FELADAT | Kör egyenlete

FELADAT | Rombusz csúcsai vektorokkal

FELADAT | Koordinátatengelyeket érintő kör

FELADAT | Kör és a kört érintő egyenes

FELADAT | Még egy kör és a kört érintő egyenes

FELADAT | Kör egyenlete három pontja alapján

FELADAT | kör egyenlete

FELADAT | kör egyenlete

FELADAT | kör egyenlete

FELADAT | egyenes egyenlete

Az egyenes iránytangenses egyenlete

FELADAT | Kör egyenlete

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim