- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet
- Elsőfokú egyenletek
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkgeometria
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás
- Térgeometria
- Valószínűségszámítás
- A várható érték
- Statisztika
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Középpontos hasonlóság
Párhuzamos szelők tétele
Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok arányával.
Középpontos hasonlóság
A középpontos hasonlósági transzformációhoz adott egy $O$ pont, ez a középpont, és egy $\lambda$ nem nulla valós szám, ez a hasonlóság aránya.
A tér minden $P$ pontjához egy $P'$ pontot rendel a következőképp:
1. ha $P=O$, akkor $P'=P$.
2. ha $P \neq O$, akkor $P'$ az $OP$ egyenes azon pontja, amelyre $OP' = \mid \lambda \mid \cdot OP$ és ha $\lambda >0$, akkor $P'$ az $OP$ félegyenesen van, ha $\lambda <0$, akkor pedig $O$ elválasztja egymástól $P$-t és $P'$-t.
Háromszögek hasonlósága
Két háromszög egymáshoz hasonló, ha...
1.) két szögük egyenlő.
2.) két oldal aránya és a nem kisebbel szemközti szögük egyenlő.
3.) két oldal aránya és az általuk bezárt szögeik egyenlők.
4.) három oldal aránya páronként egyenlő.
Magasságtétel
Derékszögű háromszögben az átfogó magasságának talppontja az átfogót két olyan részre bontja, melyeknek a mértani közepe a magasság:
\( m = \sqrt{p \cdot q} \)
vagy
\( m^2 = p\cdot q \)
Befogótétel
Derékszögű háromszög egy befogója mértani közepe az átfogónak és a befogóra eső vetületének.
\( a = \sqrt{c\cdot q} \qquad b = \sqrt{c\cdot p} \)
vagy
\( a^2 = c\cdot q \qquad b^2 = c\cdot p \)
Területek és térfogatok aránya
Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit $\lambda$-szeresére változtatjuk, akkor a területe $\lambda^2$-szeresére változik.
Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit $\lambda$-szeresére változtatjuk, akkor a térfogata $\lambda^3$-szeresére változik.
Szögfelező-tétel
Bármely háromszögben egy csúcshoz tartozó belső szögfelező a szöggel szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában fogja kettéosztani.
\( \frac{x}{y} = \frac{b}{a} \)
a) Az \( ABC \) háromszögben \( AB=8 \) cm és \( AC=12 \) cm és a \( B \) csúcsából induló egyenes az \( AC \) oldalt \( D \)-ben metszi. Mekkora \( AD \) és \( DC \), ha \( ABD\angle = ACB\angle \) ?
b) Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 24 cm. Az átlók 3:1 arányban osztják egymást. Ha a trapéz szárait meghosszabbítjuk, akkor egy olyan egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek a szárai 15 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz oldalai?
Derékszögű háromszögben a befogók hossza 15 és 20 cm. Mekkora szakaszokra bontja az átfogót a hozzá tartozó magasságvonal? Mekkora ez a magasság?
a) Egy háromszög oldalai a=12 cm, b=14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög kerülete 28 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala?
b) Egy derékszögű háromszög befogói a=12 cm, b=9 cm. Egy ehhez hasonló háromszög területe \( 6 cm^2 \). Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala?
Egy háromszög oldalainak hossza \( a=3 \) cm, \( b=4\) cm, és \( c=5 \) cm.
A \( C\) csúcsnál lévő belső szögfelező milyen hosszúságú szakaszokra osztja a \( c \) oldalt?
a) Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 20 cm, szárai 10 cm hosszúak. A trapézt háromszöggé kiegészítő háromszögének szárai 8 cm-esek. Mekkora a trapéz területe?
b) Egy háromszögről azt tudjuk, hogy két szöge 45 és 56 fokos. Egy másik háromszögnek van egy 79 és egy 56 fokos szöge. Hasonló-e a két háromszög?
c) Egy szimmetrikus trapéz két alapja 12 és 6 cm, az átlója pedig 9 cm hosszú. Milyen hosszú szakaszokra osztja ezt az átlót az átlók metszéspontja?
a) A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm?
b) Egy háromszög oldalai a=12 cm, b=14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala?
Jelölje a 4 egység oldalú ABC szabályos háromszög BC oldalának B-hez közelebbi negyedelőpontját P, a CA oldal C-hez közelebbi negyedelőpontját Q, az AB oldal A-hoz közelebbi negyedelőpontját pedig R. Jelölje továbbá AP és BQ szakaszok metszéspontját X, BQ és CR szakaszok metszéspontját Y, végül CR és AP szakaszok metszéspontját Z. Mekkora az XYZ háromszög területe?
Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy miről szól a párhuzamos szelők tétele, mi az a középpontos hasonlóség, hogyan működik, mikor hasonló egymáshoz két háromszög, és jönnek a háromszögek hasonlóságának alapesetei. Megnézzük, hogyan kell megoldani hasonlósággal kapcsolatos feladatokat? Háromszögek hasonlóságának alapesetei, háromszöges és trapézos hasonlóság feladatok. Középpontos hasonlóság, a hasonlóság alkalmazása, hasonlóság feladatok megoldással. Aztán két nagyon fontos tétel következik, a magasságtétel, és a befogótétel. Az is kiderül, hogy mire lehet ezeket használni. Befogótételes és magasságtételes feladatok megoldással, középpontos hasonlóság, háromszögek hasonlósága. Megnézzük, hogy ha egy alakzatot valahányszoroára növelünk, akkor hányszorosára változik a területe és a térfogata. Feladatok középpontos hasonlósággal, alakzatok kerületének és területének aránya a középpontos hasonlóság során. Végül az is kiderül, hogy mi az a szögfelező-tétel, és miért élhetjük boldogabban az életünket, ha ismerjük. Szögfelező-tételes feladatok megoldással.
