- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
Pontok, egyenesek, síkok
A geometria legapróbb építőkockái a pontok. A pontokat az ABC nagy betűivel jelöljük.
Az egyenesek mindkét irányban végtelen kiterjedésű és végtelenül keskeny egyenes vonalak. De ez csak az egyenes vizuális leírása, matematikai definíciója nincsen, ugyanis az egyenes a ponthoz hasonlóan alapfogalom.
A sík is geometria alpafogalom. A síkok már két dimenziósak, ellentétben az egy dimenziós egyenessel. Az egyenesen csak jobbra és balra tudunk mozogni, egy síkban viszont már két lényegesen különböző irány létezik, jobbra-balra és előre-hátra. Ennél is nagyobb a dimenziója a térnek, amiben a pontok, az egyenesek és a síkok helyezkednek el. A térben három lényegesen különböző irány van, ezért a tér három dimenziós. Létezik benne jobbra-balra, előre-hára és fel-le.
Szakasz
Egy egyenesnek a két pont közötti részét szakasznak nevezzük.
A szakasz az egyenessel ellentétben mindig véges hosszúságú, és a hossza mindig a két pont távolsága.
Félsík
Ha egy síkot egy egyenessel kettévágunk, akkor két félsík keletkezik.
Féltér
Ha a teret egy síkkal két részre vágjuk, akkor két féltér keletkezik.
Szögek
A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Ezek a tartományok és a két félegyenes szöget alkotnak. Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A szög csúcsa a két félegyenes közös végpontja, a szög szárai pedig maguk a félegyenesek. A félegyenesek közötti részt szögtartománynak nevezzük. A két félegyenes mindig két ilyen tartományt határoz meg, és egy körívvel jelöljük, hogy épp melyik szögtartományról van szó.
A szögeket a görög abc betűivel jelöljük: $\alpha, \beta, \gamma, \dots $
A szögeket nagyságuk szerint szokás csoportosítani. A szögek mérésére a fokot szokás használni, egy teljes kör éppen 360 fok, a derékszög pedig a 90 fok. Amikor a két szögszár éppen egybeesik, akkor az általuk meghatározott szög a nullszög és a teljes szög, az egyik 0 fokos, a másik 360 fokos. Amikor a két félegyenes 0 és 90 fok közötti szöget zár be, azt úgy hívjuk, hogy hegyes-szög. Amikor épp 90 fokos szögben állnak, azt derékszögnek nevezzük. A 90 foknál nagyobb és 180 foknál kisebb szögek a tompaszögek. A 180 fokos szöget egyenes-szögnek nevezzük, míg a 180 fok és 360 fok közötti szögeket homorúszögnek hívjuk.
Hegyesszög
Ha egy szög $0°$ és $90°$ közé esik, akkor hegyesszögnek nevezzük.
Az $\alpha $ szög hegyesszög, ha $ 0°< \alpha < 90° $.
Derékszög
Ha egy szög pontsoan $90°$-os, akkor derékszögnek is nevezzük.
Az $\alpha$ szög derékszög, ha $ \alpha = 90° $.
Tompaszög
Ha egy szög $90°$ és $180°$ közé esik, akkor tompaszögnek nevezzük.
Az $\alpha $ szög tompaszög, ha $ 90°< \alpha < 180° $.
Egyenesszög
Ha egy szög pontosan $180°$-os, akkor egyenesszögnek is nevezzük.
Az $\alpha $ szög egyenesszög, ha $ \alpha = 180° $.
Homorúszög
Ha egy szög $180°$ és $360°$ közé esik, akkor homorúszögnek nevezzük.
Az $\alpha $ szög homorúszög, ha $ 180°< \alpha < 360° $.
Két pont távolsága
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Ha tehát le kell mérni két pont távolságát, csak rá kell helyezni a vonalzónkat a két pontra, és már látjuk is a két pont távolságát.
Pont és egyenes távolsága
Pont és egyenes távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk az egyenesre.
A távolság pedig ennek a szakasznak a hossza.
Pont és sík távolsága
Pont és sík távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk a síkra.
A pont és sík távolsága pedig ennek a szakasznak a hossza.
Két egyenes távolsága
Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.
Ha a két egyenes egymással párhuzamos, akkor a távolságukat úgy kapjuk meg, hogy az egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.
És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.
Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
A kitérő egynesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
A kitérő egyenesek mindig két párhuzamos síkban futnak, így a távolságuk a két sík távolsága.
Kitérő egyenesek
Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
A kitérő egynesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
Kitérő egyenesek láthatunk például autópályáknál, ahol az egyik út keresztezi a másikat egy hídon át.
Két sík távolsága
Ha a két sík metszi egymást, olyankor egy egyenesben metszik egymást és a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.
Ha a két sík párhuzamos, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk meg, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot, a pontbl merőlegest állítunk a síkra, és a távolságuk ennek a szakasznak a hossza.
Nevezetes ponthalmazok
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Három ponttól azonos távolságra lévő pont a három pon köré írható kör középpontja.
Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes szögének szögfelezője.
Egyállású szögek
Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak és egyforma irányúak is, akkor ezeket a szögeket egyállású szögeknek nevezzük.
Az egyállású szögek egyenlők.
Váltószögek
Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak, de irányuk ellentétes, akkor ezeket a szögeket váltószögeknek nevezzük.
A váltószögek egyenlők.
Csúcsszögek
Ha két váltószöget a csúcsuknál összeillesztünk, akkor ezeket a szögeket csúcsszögeknek nevezzük.
A csúcsszögek egyenlők.
Ha két egyenes metszi egymást, akkor mindig két-két csúcsszög pár keletkezik.
Kiegészítő szögek
Ha két szög szárai párhuzamosak és az egyik száruk közös, akkor ezeket a szögeket kiegészítő szögnek nevezzük.
A kiegészítő szögek nem egyenlők (kivéve ha 90°-90°-osak), de ha összeadjuk őket, mindig 180 fokot kapunk.
Pótszögek
Ha két szög 90 fokra egészíti ki egymást, akkor pótszögeknek hívjuk őket.
a) Számoljuk ki az alábbi ábrán az összes szöget (a két vízszintes egyenes párhuzamos).
b) Számoljuk ki itt is az ismeretlen szögeket.
a) Az ABC háromszögben a B csúcsnál lévő külső szög nagysága 144°. Az f egyenes az AC oldal felezőmerőlegese, a g pedig a C csúcsánál lévő szögnek a szögfelezője. Az f és a g az AB oldalon metszi egymást a P pontban. Mekkorák a bejelölt szögek?
b) Az ABC háromszög B csúcsánál lévő szög kiegészítő szögének szögfelezője f. A háromszög A csúcsából a BC oldal egyenesére bocsájtott merőleges egyenes pedig m. Mekkorák a háromszög szögei?
c) Az e egyenes az ABC háromszög A csúcsánál lévő szög kiegészítő szögét felezi. Az f egyenes pedig a háromszög B csúcsánál lévő szögét felezi. Az f egyenes a P pontban metszi az AC oldalt, és a Q pontban metszi az e egyenest. Tudjuk még, hogy PQ = AQ. Mekkorák az ABC háromszög szögei?
És most néhány őrülten izgalmas dolgot csinálunk ennek az órának a segítségével.
Délben kezdjük.
Ilyenkor a mutatók éppen nulla fokos szöget zárnak be egymással.
Ezt úgy hívják, hogy nullszög.
Aztán menjünk tovább…
Megjelenik itt egy szög…
A mutatókat szögszáraknak nevezzük…
SZÖGSZÁR
Ezt a belső részt pedig szögtartománynak.
A szögeket a görög ABC betűivel szokás jelölni.
Íme a kollekció:
Húha, ez rosszabb, mint a római számok…
Szerencsére nekünk most csak a legkönnyebben leírható görög betűk kellenek.
Az alfa, ami az A-nak felel meg…
A béta, ami a B-nek…
És a gamma, ami a C-nek.
Ja nem, a gamma az a G. Ki érti ezt…
A lényeg, hogy a többit egyelőre el is felejthetjük…
Most pedig elég nekünk az alfa is.
3 óráig vannak a hegyes-szögek…
Aztán a 90 fokot úgy hívjuk, hogy derékszög.
A derékszöget így szokták jelölni.
Vagy lehet így is.
Aztán jönnek a tompaszögek…
Egészen hatig.
És ezt úgy hívjuk, hogy egyenes-szög.
Az egyenes-szög 180 fokos.
És itt jönnek a homorú-szögek.
Vagy más néven konkáv-szögek.
NULLSZÖG
HEGYES-SZÖG
DERÉKSZÖG
TOMPASZÖG
EGYENES-SZÖG
HOMORÚSZÖG
És amikor teljesen körbeértünk…
Az a teljes szög.
Hát, ez eddig nem hangzik túl izgalmasnak…
Készítsünk ebből egy listát.
Itt van ez az alakzat.
Derítsük ki, hogy milyen típusúak ezek a szögei.
Ez halálosan izgalmas…
Nézzünk meg még egyet…
Derítsük ki ezekről a szögekről is, hogy milyenek.
És most folytassuk valamivel, ami talán egy kicsit izgalmasabb…
Ez itt a háromdimenziós tér.
Belefér az egész naprendszer…
A térben három lényegesen különböző irány van.
Ezért hívják háromdimenziósnak.
Hogyha a naprendszer dimenziója három helyett kettő volna…
Akkor ilyen lenne.
Egy kicsit lapos…
Ezt úgy hívjuk, hogy sík.
A síkban csak két lényegesen különböző irány van, ezért a sík dimenziója kettő.
Ami bőven elég arra, hogy tudjunk rajzolni háromszögeket, vagy éppen négyszögeket.
És mindenféle síkidomot.
Ha a dimenziót megint csökkentjük eggyel…
Azt úgy hívjuk, hogy egyenes.
Az egyenesek egydimenziósak.
És aminek még az egyenesnél is kevesebb a dimenziója…
Azok a pontok.
A pontok nulladimenziósak.
És ezek a geometria legapróbb építőkockái.
A pontokat az ABC nagy betűivel jelöljük.
Az egyeneseket pedig az ABC kis betűivel.
Itt az e egyenes és rajta a P pont.
Ez a pont két részre osztja az egyenest.
Ezeket a részeket félegyenesnek nevezzük.
Ha veszünk egy másik pontot is…
A két pont közötti részt szakasznak nevezzük.
Ez itt a PQ szakasz.
És most ugorjunk egy dimenzióval följebb…
Ez itt egy sík.
És ez pedig egy egyenes a síkban.
A síkot az egyenes két félsíkra vágja…
Hogyha veszünk a síkban egy másik egyenest is…
Akkor ezek lehetnek egymással párhuzamosak…
Vagy az is lehet, hogy metszik egymást.
És, ha a másik egyenes egy másik síkban van…
Akkor azt mondjuk, hogy ezek kitérő egyenesek.
A kitérő egyenesek nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást.
Egyszerűen elmennek egymás mellett…
És most nézzük, mit tudnak a síkok…
Itt van ez a két sík.
Lehetnek metszők…
Ilyenkor egy egyenesben metszik egymást…
És lehetnek párhuzamosak.
Ilyenkor nem metszik egymást.
Egy sík a teret mindig két részre vágja.
Ezeket a részeket féltérnek hívjuk.
De az izgalmak csak most jönnek…
A geometria építőkockái a pontok, az egyenesek és a síkok.
A pontokat az ABC nagy betűivel jelöljük…
Az egyeneseket és a síkokat pedig kis betűkkel.
És most nézzük, hogy milyen távol vannak ezek egymástól.
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Egy pont és egy egyenes távolsága már izgalmasabb…
A pontból merőlegest állítunk az egyenesre…
És a távolság ennek a szakasznak a hossza.
Egy pont és egy sík távolsága pedig…
Ilyenkor a síkra állítunk merőlegest a pontból.
A pont és a sík távolsága ennek a szakasznak a hossza.
A pontokkal végeztünk.
Jöhetnek az egyenesek.
Nézzük, mekkora ezeknek az egyeneseknek a távolsága.
Hogyha az egyenesek metszik egymást, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha az egyenesek egymással párhuzamosak…
Amikor az egyenesek egymással párhuzamosak...
A távolságukat úgy kapjuk meg, hogy ez egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.
És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.
Végül van egy harmadik lehetőség is.
Olyankor, amikor az egyenesek különböző síkokban futnak…
Úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.
És a távolságuk…
A kitérő egyenesek mindig két egymással párhuzamos síkban futnak.
Az egyenesek távolsága pedig éppen ennek a két síknak a távolsága.
És, hogy mit is jelent két sík távolsága…
Hogyha a síkok metszik egymást, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha pedig párhuzamosak, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot…
A pontból merőlegest állítunk a síkra…
És a távolság ennek a szakasznak a hossza.
Van itt ez a két pont…
És próbáljuk meg kideríteni, hogy hol helyezkednek el a síkban azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak ettől a két ponttól.
Egy ilyen pont biztosan van…
A két pontot összekötő szakasz felezőpontja.
De van még több is…
A két pont közti szakasz felezőmerőleges egyenese.
Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Most nézzük mi a helyzet, ha felbukkan egy harmadik pont…
A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza ez.
A BC szakasz szakaszfelező merőlegese.
És az a pont ahol a két szakaszfelező merőleges metszi egymást…
Ez a pont egyenlő távolságra van mindhárom ponttól.
Így aztán rajta van az AC szakasz szakaszfelező merőlegesén is.
Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a három pontot összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek a közös metszéspontja.
Egyedül az okozhat kisebb problémát…
Amikor a három pont egy egyenesre esik.
Ilyenkor ugyanis a szakaszfelezők nem metszik egymást.
Vagyis nincsen olyan pont, ami a három ponttól egyenlő távolságra lenne.
Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az egyenesek által bezárt szögek szögfelezői.
Ezek itt az egyenesek…
Ez az egyenesek által bezárt szög…
És ez a szögfelező.
Na persze van itt egy másik szög is…
És ennek is van egy szögfelezője.
Olyankor pedig, amikor az egyenesek párhuzamosak…
A két egyenes között félúton futó egyenes van egyenlő távolságra mindkét egyenestől.
És három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza…
Menjünk szépen sorban…
Ez a szögfelező egyenlő távol fut ettől a két egyenestől.
Meg ez is.
Aztán ezek a szögfelezők egyenlő távol futnak a másik két egyenestől…
Végül itt jönnek még ezek is.
Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra van ez a vont…
És még három másik…
És olyankor, amikor a három egyenes párhuzamos, nincs ilyen pont.