Van itt ez a két pont…
És próbáljuk meg kideríteni, hogy hol helyezkednek el a síkban azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak ettől a két ponttól.

Egy ilyen pont biztosan van…
A két pontot összekötő szakasz felezőpontja.

De van még több is…
A két pont közti szakasz felezőmerőleges egyenese.

Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.

Most nézzük mi a helyzet, ha felbukkan egy harmadik pont…

A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza ez.
A BC szakasz szakaszfelező merőlegese.

És az a pont ahol a két szakaszfelező merőleges metszi egymást…

Ez a pont egyenlő távolságra van mindhárom ponttól.

Így aztán rajta van az AC szakasz szakaszfelező merőlegesén is.

Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a három pontot összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek a közös metszéspontja.

Egyedül az okozhat kisebb problémát…

Amikor a három pont egy egyenesre esik.

Ilyenkor ugyanis a szakaszfelezők nem metszik egymást.

Vagyis nincsen olyan pont, ami a három ponttól egyenlő távolságra lenne.

Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az egyenesek által bezárt szögek szögfelezői.

Ezek itt az egyenesek…

Ez az egyenesek által bezárt szög…

És ez a szögfelező.

Na persze van itt egy másik szög is…

És ennek is van egy szögfelezője.

Olyankor pedig, amikor az egyenesek párhuzamosak…

A két egyenes között félúton futó egyenes van egyenlő távolságra mindkét egyenestől.

És három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza…

Menjünk szépen sorban…

Ez a szögfelező egyenlő távol fut ettől a két egyenestől.
Meg ez is.

Aztán ezek a szögfelezők egyenlő távol futnak a másik két egyenestől…
Végül itt jönnek még ezek is.

Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra van ez a vont…
És még három másik…

És olyankor, amikor a három egyenes párhuzamos, nincs ilyen pont.