- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Mértékegységek és mértékegység-átváltás
Mértékegységek
| kilo | 1000 | kilométer (km) | kilogramm (kg) | |
| hekto | 100 | hektoliter (hl) | ||
| deka | 10 | dekagramm (dkg) | ||
| nincs prefixum | 1 | méter (m) | liter (l) | gramm (g) |
| deci | 0,1 | deciméter (dm) | deciliter (dl) | |
| centi | 0,01 | centiméter (cm) | centiliter (cl) | |
| milli | 0,001 | milliméter (mm) | milliliter (ml) | milligramm (g) |
Négyzetes mértékegységek (hatványozással)
$1\;m=10\;dm=100 \;cm = 1000 \; mm$
Úgy kapjuk meg ebből a négyzetméter, négyzetdeciméter, négyzetcentiméter és négyzetmilliméter váltószámait, hogy négyzetre emeljük a mértékegységeket és a váltószámokat is:
$1 \; m^2 = 10^2 \; dm^2 $
$1 \; m^2 = 100^2 \; cm^2 $
$1 \; m^2 = 1000^2 \; mm^2 $
Köbös mértékegységek (hatványozással)
$1\;m=10\;dm=100 \;cm = 1000 \; mm$
Úgy kapjuk meg ebből a köbméter, köbdeciméter, köbcentiméter és köbmilliméter váltószámait, hogy harmadik hatványra emeljük a mértékegységeket és a váltószámokat is:
$1 \; m^3 = 10^3 \; dm^3 $
$1 \; m^3 = 100^3 \; cm^3 $
$1 \; m^3 = 1000^3 \; mm^3 $
Az idő mértékegységei
1 hét = 7 nap
1 nap = 24 óra
1 óra = 60 perc
1 perc = 60 másodperc
Váltsuk át ezeket:
4 m = _____ dm = _____ cm = _____ mm = _____ km
Váltsuk át ezeket:
a) 7 m = _____ dm = _____ cm = _____ mm = _____ km
b) 5 l = _____ dl = _____ cl = _____ ml = _____ hl
c) 36 dkg = _____ g = _____ kg = _____ t
Váltsuk át ezeket:
a) $ 2 m^3$ = _____ $dm^3$ = _____ $cm^3$
b) $ 8 cm^2$ = _____ $dm^2$ = _____ $m^2$ = _____ $mm^2$
c) $ 5,4 dm^2$ = _____ $cm^2$ = _____ $m^2$
a) Váltsuk át a 4,6 köbdecimétert centiliterre.
b) Váltsuk át az 576 decilitert köbméterre.
c) $56 \; ml + 4 \; dm^3 =$ _____ $dl$
Váltsuk át ezeket:
a) 1 nap + 3 óra = _____ óra = _____ perc = _____ hét
b) $\frac{1}{3}$ nap + 4 óra = _____ perc = _____ másodperc
c) Hány hét 2 perc 58 másodperc?
Váltsuk át ezeket:
a) 24 000 g $-$ _____ kg $=$ 18 000 g
b) 245 perc $+$ _____ perc $=$ 6 óra $=$ _____ nap
c) 3 nap $+$ 50 óra $=$ _____ óra
d) 10 l $-$ _____ $dm^3 =$ 0,2 $dm^3$
e) _____ km $-$ 1300 m $=$ 5700 m = _____ dm
Váltsuk át ezeket:
a) $7 \; m^2$ $−$ $5000 \; cm^2$ $=$ _____ $cm^2$ $=$ _____ $dm^2$
b) $15000 \; g$ $+$ $3 \; kg$ $=$ _____ $kg$
c) $1700 \; cm^3$ $+$ _____ $dm^3$ $=$ $4,7 \; l$
d) $12 \; dl$ $+$ $540 \; cm^3$ $=$ _____ $dm^3$ $=$ $0,01 \; m^3$ $-$ _____ $ l $
Váltsuk át ezeket:
a) $2 \; dm^2 + 4600 \; mm^2 = $ _____ $dm^2$
b) 145 perc $+$ _____ másodperc $=$ 3 óra $=$ _____ nap
c) 3 nap + 50 óra = _____ óra
d) $2 \; l - $ _____ $cm^3 = 700 \; cm^3$
e) _____ $km - 1300 \; m = 5700 \; m =$ _____ $dm$
Váltsuk át ezeket:
a) $7 \; m^2 - 5000 \; cm^2 = $ _____ $cm^2 = $ _____ $dm^2$
b) $15 000 \; g + 3 \; kg =$ _____ $kg$
c) $1700 \; cm^3 + $ _____ $dm^3 = 4700 cm^3$
d) $2,5 \; m - 130 \; mm =$ _____ $ mm =$ _____ $cm$
Váltsuk át ezeket:
a) 196 perc $+$ _____ másodperc $=$ 7 óra $-$ 0,125 nap $=$ _____ perc
b) 1 nap + 21 óra $=$ _____ perc - 1275 másodperc
c) $2 \; l -$ _____ $cm^3 = 350 \; cm^3$
d) _____ $km - 1200 \; m = 5600 \; m =$ _____ $dm$
Váltsuk át ezeket:
a) $5 \; m^2 - 2000 \; cm^2 = $ _____ $cm^2 = $ _____ $dm^2$
b) $34 000 \; g + 7 \; kg = $ _____ $kg$
c) $1600 \; cm^3 + $ _____ $dm^3 = 9700 \; cm^3$
d) $6,5 \; m - 240 \; mm = $ _____ $mm$ = _____ $cm$
Te is mindig összekevered a váltószámokat a decinél meg a dekánál? Egy kiló most akkor hány deka, és egy méter az hány deciméter?
Ki fog derülni, hogy nem is Te vagy aki összekeveri ezeket, hanem maguk a mértékegységek vannak összekeverve.
De egy ügyes kis trükknek köszönhetően soha többé nem fognak gondot okozni.
Kezdjük a távolságok mérésére használt méterrel.
A deciméter az a méter tizedrésze, vagyis:
A centiméter pedig a méter századrésze:
A milliméter pedig a méter ezredrésze:
A méter ezerszerese a kilométer… rövid „o”-val…
A méter százszorosa a hektométer…
De valamiért ilyen fogalom nem létezik.
És a méter tízszerese a dekaméter, de sajna ilyen sincs.
Most nézzük a litert, ami térfogat mérésére használunk.
A deciliter ugyanúgy a liter tizedrésze, mint a méternél a deciméter.
A centiliter pedig a liter századrésze.
És a milliliter a liter ezredrésze.
Aztán jön a kiloliter…
Na, ilyen nincsen.
És a hektoliter…
Olyan viszont van.
Már önmagában ez is zavaró egy kicsit, hogy az egyik itt nem létezik, a másik ott…
Hiszen miből állt volna feltalálni a kilolitert vagy a hektométert…
De az igazi kavarás csak most kezdődik.
A méter és a liter olyan emberszabású mértékegységek…
A kilométer már olyan hosszú, hogy el sem látunk addig, a milliméter meg nagyon picike.
De egy méter az pont testhezálló.
Ugyanez a helyzet a literrel is.
A hektoliter már nagyon sok, a milliliter meg nagyon kevés.
És akkor itt jön a tömeg mértékegysége a gramm.
Egy gramm az iszonyatosan kevés.
Valahol itt lenne a helye a milliméter és a milliliter környékén.
De hát nem itt van…
Az ici-pici gramm egy szinten van szabad szemmel is jól látható méterrel és literrel.
És ez bizony elég sok félreértést fog okozni.
A gramm emberszabású változata a kilogramm.
Érzésre ezek vannak valahogy azonos szinten.
Aztán menjünk tovább. Hektogramm, az nincs.
Dekagramm viszont van.
És talán ezért tévesztjük el olyan gyakran a dekagrammot.
Mert érzésre valahol a centiknél kéne lennie.
És tényleg, 100 centi az 1 méter, 100 deka az egy kiló.
Nem véletlen, hogy a kiló, így hosszú „o”-val a hétköznapi nyelv része.
De menjünk tovább.
Decigramm és centigramm az nincsen.
Milligramm viszont van.
A kilométernek pedig a grammok világában a tonna felel meg, ami rá sem fér a listánkra.
És most lássuk a rövidítéseket.
Nem is olyan rémes ez a mértékegység-átváltás...
A mértékegységeknél tartottunk…
És addig jutottunk, hogy van egy tonna olaszos hangzású szó, amit meg kéne jegyezni.
A deci 1/10-et jelent…
A centi pedig 1/100-ot.
Ezt például a cent alapján könnyű megjegyezni.
Egy dollár az 100 cent, vagy éppen egy euró az 100 eurócent.
A milli azt jelenti, hogy ezred.
És van még…
A deka 10-szeres szorzót jelent…
Simán össze lehet keverni a decivel, ami viszont az 1/10-et jelenti.
Talán úgy lehet megjegyezni, hogy a deci az a kici…
A deka megy a nagy.
De biztosan léteznek más trükkök is.
A hekto azt jelenti, hogy 100-szoros.
Ez csak a hektoliternél fordul elő, talán ez alapján lehet megjegyezni…
A kilo meg teljes katasztrófa…
Valami többszörösen bukott matekos analfabéta elterjesztette ugyanis a szlengben, hogy a kilo százat jelent…
Így aztán akikaz utcán tanulják a matekos kifejezéseket, náluk komoly félreértések adódhatnak ebből.
Szóval a kilo ezret jelent.
Most pedig nézzük mi az, ami segít ezt a sok szót megjegyezni.
Már jön is.
Ja, mégsem…
Ezt csak úgy lehet megjegyezni, ha megoldunk néhány feladatot.
Hát igen, nem túl jó hír…
Ez itt egy méter…
Nem túl érdekes, különböző hosszúságokat tudunk mérni vele.
Most lépjünk át az egydimenzióból a sokkal izgalmasabb kétdimenzióba.
Ez itt egy -es négyzet.
Úgy hívjuk, hogy egy négyzetméter.
És így jelöljük:
A négyzetmétert területek mérésére használjuk.
Itt van például ez a festmény, ami 4 méter széles és 5 méter magas.
A területe pedig…
De ami még a festményeknél is izgalmasabb…
Hogyha kilépünk a háromdimentóziós térbe.
Ez itt egy köbméter.
És most lássuk a rettegett mértékegység-átváltásokat…
Nem is kell semmilyen váltószámot megjegyezni.
Mindössze néhány olaszos hangzású szót kell tudni.
Az egyik a pizza…
Ja nem, a pizza most nem kell.
Az első, amit jegyezzünk meg a deci.
A dieci olaszul 10-et jelent.
Esetünkben pedig tizedet.
A deciméter a méternek a tizedrésze.
Vagyis, ha veszünk belőle 10 darabot…
Akkor az éppen egy méter.
Váltószámok helyett pedig rajzoljunk.
Váltsuk át például a 2,5 köbmétert literre.
Ez végülis ugyanaz, mintha köbdeciméterre váltanánk.
Most nézzük, mi a helyzet a négyzetnél.
Ha itt veszünk 10 darabot…
Az még kevés lesz.
Ebből már 100 darab kell.
De kinek van ideje 100 darab kis négyzetet rajzolni?
Hát persze, senkinek.
Nem is kell.
Bőven elég elképzelni, hogy erre is pakolunk 10 darab kis négyzetet…
Meg arra is.
És 10-szer 10 az 100.
A köbdecinél pedig…
Erre is pakolunk 10 darab kiskockát…
Meg erre is…
Meg erre is.
A cento olaszul 100-at jelent.
És például 100 cent az egy dollár.
Vagy épp 100 euro cent az 1 euró.
100 centiméter pedig 1 méter.
Most lássuk, mi a helyzet a négyzeteknél…
Ez itt egy négyzetcentiméter.
Hát, nem túl nagy…
Mindkét irányba 100 darabot tudunk belőlük egymásmellé pakolni.
A nagy kék négyzet tehát 100-szor 100 darab kis piros négyzettel fedhető le.
Ezt a váltószámot megjegyezni olyan, mintha meg akarnánk jegyezni a barátaink telefonszámát.
Teljesen felesleges, elég, ha azt tudjuk, hol kell keresni.
A telefonszámot a telefonunkban, a váltószámot pedig ezen a rajzon.
És most jöhet a köbcenti.
Na, ebből aztán jó sok kell.
Minden irányba 100 darab…
Egymillió darab 1 centis kiskockából tudunk kirakni egy 1 méteres nagykockát.
De a legjobb dolog csak most jön…
Még ennyit sem kell megjegyezni.
Semmi mást nem kell tudni, csak ezt.
Na meg egy ügyes kis trükköt.
A váltószámot a mindig a mértékegység árulja el nekünk.
A négyzetméternél ezeket a szorzókat négyzetre kell emelni.
A köbméternél meg köbre.
Ez őrülten egyszerű.
Próbáljuk is ki.
A dolog ezzel indul.
Egy kilométer az 1000 méter.
Aztán jön a deciméter, ami egytized méter…
A centiméter, ami egyszázad méter…
És a milliméter, ami egyezred méter.
Az többit ebből már ki tudjuk számolni.
És most simán köbre emeljük a mértékegységeket és a váltószámokat.
Váltsuk át például ezeket:
Váltsuk át ezeket is:
Először nézzük négyzet nélkül:
És most simán négyzetre emeljük a váltószámokat.
Ez meg is van.
Itt jön aztán egy másik:
Először nézzük köb nélkül…
A mágikus liter-köbdeci átváltás
És most lássuk a mágikus liter-köbdeci átváltást…
A dolog lényege, hogy 1 liter víz éppen egy 10x10x10 centis kockába fér bele.
És most lássuk, mire használhatnánk ezt, jóra vagy rosszra…
Váltsuk át például a 4,6 köbdecimétert centiliterre.
Itt jön a mágikus váltószám…
És a literből már lazán tudunk centilitert faragni…
Ez meg is van.
Most váltsuk át az 576 decilitert köbdeciméterre.
Először csinálunk belőle litert…
Kész is.
Nézzünk valami érdekesebbet…
Úgy tűnik, deciliterre kell átváltanunk…
Az egész ilyen egyszerű…
