- Mátrixok és vektorok
- Egy kis geometria
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Lineáris leképezések
- Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
- Ortogonális mátrixok, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása
- Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására
- Komplex számok
- Polinomok
- Interpolációs polinomok
- Oszthatóság
- Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek
- Kongruenciák, Euler-Fermat tétel
- Csoportok, gyűrűk, testek
Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
1. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
\( x_1 + 2x_2 + x_3= 8 \)
\( 2x_1+x_2-x_3=1 \)
\( 2x_1-x_2+x_3=3 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.
\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)
\( x_1-x_3+x_4=2 \)
\( 2x_2+x_4=8 \)
\( x_1+x_4=5 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert Gauss eliminációval.
\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)
\( x_1-x_3+x_4=2 \)
\( 2x_2+x_4=8 \)
\( x_1+x_4=5 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a bázis transzformáció segítségével.
a)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)
b)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.
a)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)
b)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformáció segítségével.
\( 2x_1 - x_4 = 4 \)
\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)
\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)
\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Gauss elimináció segítségével.
\( 2x_1 - x_4 = 4 \)
\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)
\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)
\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a bázis transzformáció segítségével oldjuk meg.
\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)
\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a Gauss elimináció segítségével oldjuk meg.
\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)
\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)
\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)
\( x_2+2x_3+x_4=1 \)
\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)
\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)
\( x_2+2x_3+x_4=1 \)
\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)
\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a
\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. A Gauss elimináció segítségével számítsuk ki a
\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és
\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és
\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a Gauss elimináció segítségével végezzük.
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
17. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a Gauss elimináció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
18. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
19. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a Gauss elimináció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
20. A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)
\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)
\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)
\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
21. A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)
\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)
\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)
\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
22. Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1-3x_2-14x_3=-17 \)
\( 2x_1-6x_2-28x_3+p\cdot x_4 = q-34 \)
\( 3x_1-7x_2-36x_3+4p\cdot x_4 = 4q-37 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
23. Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1-3x_2-14x_3=-17 \)
\( 2x_1-6x_2-28x_3+p\cdot x_4 = q-34 \)
\( 3x_1-7x_2-36x_3+4p\cdot x_4 = 4q-37 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
24. Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)
\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)
\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
25. Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)
\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)
\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
26. Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
27. Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.
(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)
Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük neked, hogyan kell megoldani lineáris egyenletrendszereket elemi bázistranszformációval és Gauss eliminációval. Lineáris egyenletrendszerek, Lineáris egyenletrendszerek megoldása, Együtthatómátrix, Kibővített együtthatómátrix, Gauss elimináció, Gauss algoritmus, Elemi bázistranszformáció, Elemi bázistranszformáció feladatok, Pivot elem, Generáló elem, Általános megoldás. Az elemi bázistranszformáció rendkívül fontos a lineáris algebrában. Megmutatjuk, hogy mikre kell figyelned. Végtelen sok megoldás, Nulla darab megoldás, Pivot elem, Generáló elem, Bázistranszformáció, Általános megoldás, Partikuláris megoldás, Szabadságfok, Rang. Röviden és szuper-érthetően elmeséljük neked azt is, hogyan kell kiszámolni nem négyzetes mátrixok inverzét. Inverz mátrix, Invertálhatóság, Mátrix inverze, Nem négyzetes mátrixok inverze, Bal inverz, Jobb inverz. A vektorrendszer rangja rendkívül fontos a lineáris algebrában. Most elmeséljük, hogyan kell kiszámolni. Rang, Lineárisan független vektorok, Lineárisan összefüggő vektorok, Generátorrendszer, Bázis. Végül pedig egyszerű példákon keresztül megtanítjuk, hogyan kell kiszámolni egy mátrix inverzét. A négyzetes mátrixok inverzével fogjuk kezdeni. Mátrix inverze, Mátrix invertálhatósága, Inverz mátrix, Inverz mátrix kiszámolása, Inverz mátrix feladatok megoldással, Mátrix inverzének kiszámolása, Invertálható mátrixok, Nem invertálható mátrixok, Bal inverz, Jobb inverz, Az inverz kiszámolása.
Itt jön egy egyenletrendszer.
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
Hát ugye az nincs
az nincs és sincs
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
A nulla miatt ebben az oszlopban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész oszlop marad.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen.
Hát ezért éri meg így választani.
A nullák megkönnyítik az életünket.
Kiszámolni csak ezeket kell.
A nulla miatt ebben az oszlopban mindenki marad
Sőt, ebben a sorban is mindenki marad.
És ebben a sorban is.
Alig kell valamit számolni.
Ezt az egyet kell kiszámolni:
Nézzünk meg két nagyon izgalmas egyenletrendszert!
Ebben az egyenletrendszerben valójában
csak két egyenlet van.
A harmadik egyenlet ugyanis az első kettő összege.
Ilyen alapon lehetne még egy negyedik, ötödik,
sőt hatodik egyenlet is.
Valójában tehát csak két egyenlet van, vagyis több
az ismeretlen, mint ahány egyenlet, és ilyenkor
az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
Na ennyi elég
Ebben az egyenletrendszerben a harmadik egyenlet
szintén az első kettő összege, de van egy kis gond.
A jobb oldal ugyanis nem stimmel, mert 5 helyett 6 van.
Ilyenkor ugye nem tud egyszerre mindegyik egyenlet
teljesülni, vagyis az egyenletek ellentmondanak,
és ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.
Van tehát két egyenletrendszerünk, és mi előre tudjuk, hogy az egyiknek végtelen sok megoldása lesz, a másiknak pedig nem lesz megoldása.
Nézzük meg, hogy ha elkezdjük megoldani ezeket az egyenletrendszereket a jól bevált elemi bázistranszformációval, akkor vajon hogyan fog kiderülni, hogy az egyiknek
végtelen sok megoldása van, a másiknak pedig nincs megoldása.
Itt kezdődnek a problémák.
-at ugyanis nem tudjuk lehozni, mert 0-t nem választhatunk generáló elemnek.
A bázistranszformáció tehát úgy ér véget, hogy marad egy –s sor.
HA MARADNAK -S SOROK, AHOL MÁR NEM TUDUNK GENERÁLÓ ELEMET VÁLASZTANI, OLYANKOR MINDIG VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN, VAGY NINCS MEGOLDÁS.
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN
x-es oszlop
0
0
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR NINCS MEGOLDÁS
x-es oszlop
0
NEM 0
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
A fent maradt változók úgynevezett szabad változók, ők t, s és egyéb néven szerepelnek tovább a történetben.
A MEGOLDÁS:
ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:
SZABADSÁGFOK=ahány fönt marad
(most a szabadságfok 1)
RANG=ahány levihető
(most a rang 2)
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
Itt már nincs további teendő
Az és paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
Elkezdjük megoldani a bázistranszformációval.
Olyan sorban és oszlopban, ahol paraméter van, nem ajánlatos generáló elemet választani.
Ezeket tehát kerüljük el!
Van itt ez a marhajó 1-es, válasszuk ezt.
Elkerüljük a paramétereket, amíg lehet.
Most elkezdünk egy kicsit gondolkodni.
1.ESET és
végtelen sok megoldás
2.ESET és
nincs megoldás
3.ESET és
levihető és egy megoldás
Na ennyi gondolkodás elég is volt.
Az , és paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
Amíg lehet ne válasszunk generáló elemet olyan sorban vagy oszlopban,
amiben paraméter van.
van itt ez a remek 1-e, válaszzuk ezt!
Aztán ezt a másik 1-est választjuk. Marha nagy szerencsénk van a nullákkal.
A nulla miatt ebben a sorban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész sor marad ahogy van,
meg itt is,
sőt itt is.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen. A nullák megkönnyítik az életünket.
A bázistranszformáció itt elakad, a legalsó sorban ugyanis csupa nulla van, a felette
lévőben pedig paraméter.
Kezdjünk el kicsit gondolkodni!
1.ESET
nincs megoldás és bármi lehet.
2.ESET
nincs megoldás, és bármi lehet.
3.ESET és
ekkor levihető, végtelen sok megoldás, a szabadságfok egy
Van itt még valami.
Itt ugye, ha nem nulla van, akkor nincs megoldás.
De itt mindegy mi van, ha például ,
ennek akkor is van megoldása.
Ne felejtsük el ugyanis, hogy ezek
a feltételek csak -s sorokra vonatkoznak.
Ez -s sor, tehát itt
tényleg nincs megoldás.
Ebben a sorban viszont már x van,
így semmilyen szabálynak nem kell teljesülnie.
Számítsuk ki a
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az és vektor.
illetve
Akkor állítható elő az vektor, ha léteznek olyan számok, hogy
illetve
Ez tulajdonképpen két egyenletrendszer:
Ezeket kell megoldanunk. Ha van megoldás, akkor az adott vektor előállítható, ha nincs megoldás, akkor nem állítható elő.
megoldjuk:
van megoldás,
így az vektor előállítható
Például
Jön a szokásos, és persze nagyon izgalmas bázistranszformáció.
nincs megoldás,
ezért a vektor sajna nem állítható elő
A bázistranszformáció itt sajnos elakad, mert az -s sorokban már csak nullák vannak.
Ilyenkor vagy végtelen sok megoldás van vagy nincs megoldás.
Lássuk, hogyan áll elő az vektor!
Az egyenletrendszer megoldását a
szokásos módon olvassuk le.
és tetszőleges
Ha mondjuk és nulla, akkor
A vektorrendszer rangja annyi, ahány x-et lehoztunk, vagyis most éppen kettő.
Az független vektorok, és
Mekkora a vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a vektor?
A vektor akkor állítható elő, ha van olyan amire
A jobb oldalt átrendezzük úgy, hogy lássuk mennyi van az vektorokból
Mivel független vektorok, ha például a bal oldalon egy darab van,
akkor a jobb oldalon is egy darab kell, hogy legyen,
vagy ha a bal oldalon két van, akkor jobb oldalon is.
Érdemes megfigyelni, hogy ezt a táblázatot
rögtön a feladatból is felírhatjuk.
Nincs más dolgunk, mint összeszámolni, hány darab van,
aztán azt, hogy hány darab és végül hány .
A megoldás:
A vektor előáll:
A vektorrendszer rangja pedig, mivel mindhárom x-et lehoztuk,
így a jelek szerint három.
Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.
Az -es mátrix inverze egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát ha a szereplőket megcseréljük,
akkor lehet, hogy valami egészen más mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.
Mindkét mátrixot inverznek nevezzük
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,
hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis
Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.
Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,
és maradjunk ennél a sorrendnél.
Itt van például egy mátrix:
Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.
Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.
A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.
Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.
Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy meg meg stb.
De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy
miért.
A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak , és .
Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.
Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi , és
Ehhez végezzük el a szorzást!
A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.
Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.
Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.
Valójában elég egyetlen táblázat.
A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.
A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.
A kapott megoldás éppen az inverz.
Csak annyi dolgunk van, hogy
sorba rakjuk a sorokat:
Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:
Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,
és mellé írjuk az egységmátrixot.
Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.
Elérkezett az idő, hogy olyan mátrixok inverzét is kiszámoljuk, amelyek nem -esek.
Ilyenkor a jobb oldali inverz és a bal oldali inverz nem egyezik meg.
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Itt van például egy mátrix
A bal oldali inverz 3x2-es lesz
A jobb oldali inverz szintén 3x2-es lesz
Mindkettőt bázistranszformációval számoljuk ki
Itt sajnos van egy kis gond.
bal oldali inverz
most nincs
jobb oldali inverz
most épp van
Maradt egy -s sor, amiben nem
mindenki nulla, tehát nincs megoldás.
Itt viszont van megoldás,
a fönt maradt legyen mondjuk .
