Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze

1. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

\( x_1 + 2x_2 + x_3= 8 \)

\( 2x_1+x_2-x_3=1 \)

\( 2x_1-x_2+x_3=3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.

\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)

\( x_1-x_3+x_4=2 \)

\( 2x_2+x_4=8 \)

\( x_1+x_4=5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert Gauss eliminációval.

\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)

\( x_1-x_3+x_4=2 \)

\( 2x_2+x_4=8 \)

\( x_1+x_4=5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a bázis transzformáció segítségével.

a)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)

b)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.

a)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)

b)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformáció segítségével.

\( 2x_1 - x_4  = 4 \)

\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)

\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)

\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Gauss elimináció segítségével.

\( 2x_1 - x_4  = 4 \)

\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)

\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)

\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a bázis transzformáció segítségével oldjuk meg.

\( x_1 + x_2 + x_3  = 4 \)

\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)

\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a Gauss elimináció segítségével oldjuk meg.

\( x_1 + x_2 + x_3  = 4 \)

\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)

\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


 

10. Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)

\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4  = \beta \)

\( x_2+2x_3+x_4=1 \)

\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)

\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4  = \beta \)

\( x_2+2x_3+x_4=1 \)

\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)

\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a

\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad  \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. A Gauss elimináció segítségével számítsuk ki a

\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad  \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a Gauss elimináció segítségével végezzük.

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a Gauss elimináció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


18. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


19. Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a Gauss elimináció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


20. A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)

\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)

\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)

\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


21. A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)

\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)

\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)

\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


22. Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( x_1-3x_2-14x_3=-17 \)

\( 2x_1-6x_2-28x_3+p\cdot x_4 = q-34 \)

\( 3x_1-7x_2-36x_3+4p\cdot x_4 = 4q-37 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


23. Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1-3x_2-14x_3=-17 \)

\( 2x_1-6x_2-28x_3+p\cdot x_4 = q-34 \)

\( 3x_1-7x_2-36x_3+4p\cdot x_4 = 4q-37 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


24. Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)

\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)

\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


25. Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)

\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)

\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


26. Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.

(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


27. Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.

(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük neked, hogyan kell megoldani lineáris egyenletrendszereket elemi bázistranszformációval és Gauss eliminációval. Lineáris egyenletrendszerek, Lineáris egyenletrendszerek megoldása, Együtthatómátrix, Kibővített együtthatómátrix, Gauss elimináció, Gauss algoritmus, Elemi bázistranszformáció, Elemi bázistranszformáció feladatok, Pivot elem, Generáló elem, Általános megoldás. Az elemi bázistranszformáció rendkívül fontos a lineáris algebrában. Megmutatjuk, hogy mikre kell figyelned. Végtelen sok megoldás, Nulla darab megoldás, Pivot elem, Generáló elem, Bázistranszformáció, Általános megoldás, Partikuláris megoldás, Szabadságfok, Rang. Röviden és szuper-érthetően elmeséljük neked azt is, hogyan kell kiszámolni nem négyzetes mátrixok inverzét.  Inverz mátrix, Invertálhatóság, Mátrix inverze, Nem négyzetes mátrixok inverze, Bal inverz, Jobb inverz. A vektorrendszer rangja rendkívül fontos a lineáris algebrában. Most elmeséljük, hogyan kell kiszámolni. Rang, Lineárisan független vektorok, Lineárisan összefüggő vektorok, Generátorrendszer, Bázis. Végül pedig egyszerű példákon keresztül megtanítjuk, hogyan kell kiszámolni egy mátrix inverzét. A négyzetes mátrixok inverzével fogjuk kezdeni. Mátrix inverze, Mátrix invertálhatósága, Inverz mátrix, Inverz mátrix kiszámolása, Inverz mátrix feladatok megoldással, Mátrix inverzének kiszámolása, Invertálható mátrixok, Nem invertálható mátrixok, Bal inverz, Jobb inverz, Az inverz kiszámolása.



Egyenletrendszerek megoldása elemi bázistranszformációval

Itt jön egy egyenletrendszer.

Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.

Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.

Legyen mondjuk ez.

Hát ugye  az nincs

 az nincs és  sincs

Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.

Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.

Legyen mondjuk ez.

A nulla miatt ebben az oszlopban minden elemből nullát vonunk ki,

tehát az egész oszlop marad.

Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában

és oszlopában jó sok nulla legyen.

Hát ezért éri meg így választani.

A nullák megkönnyítik az életünket.

Kiszámolni csak ezeket kell.

A nulla miatt ebben az oszlopban mindenki marad

Sőt, ebben a sorban is mindenki marad.

És ebben a sorban is.

Alig kell valamit számolni.

Ezt az egyet kell kiszámolni:


Végtelen sok megoldás, nulla megoldás, szabadságfok (bázistranszf.)

Nézzünk meg két nagyon izgalmas egyenletrendszert!

Ebben az egyenletrendszerben valójában

csak két egyenlet van.

A harmadik egyenlet ugyanis az első kettő összege.

Ilyen alapon lehetne még egy negyedik, ötödik,

sőt hatodik egyenlet is.

Valójában tehát csak két egyenlet van, vagyis több

az ismeretlen, mint ahány egyenlet, és ilyenkor

az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Na ennyi elég

Ebben az egyenletrendszerben a harmadik egyenlet

szintén az első kettő összege, de van egy kis gond.

A jobb oldal ugyanis nem stimmel, mert 5 helyett 6 van.

Ilyenkor ugye nem tud egyszerre mindegyik egyenlet

teljesülni, vagyis az egyenletek ellentmondanak,

és ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.

Van tehát két egyenletrendszerünk, és mi előre tudjuk, hogy az egyiknek végtelen sok megoldása lesz, a másiknak pedig nem lesz megoldása.

Nézzük meg, hogy ha elkezdjük megoldani ezeket az egyenletrendszereket a jól bevált elemi bázistranszformációval, akkor vajon hogyan fog kiderülni, hogy az egyiknek

végtelen sok megoldása van, a másiknak pedig nincs megoldása.

Itt kezdődnek a problémák.

-at ugyanis nem tudjuk lehozni, mert 0-t nem választhatunk generáló elemnek.

A bázistranszformáció tehát úgy ér véget, hogy marad egy –s sor.

HA MARADNAK -S SOROK, AHOL MÁR NEM TUDUNK GENERÁLÓ ELEMET VÁLASZTANI, OLYANKOR MINDIG VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN, VAGY NINCS MEGOLDÁS.

HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,

AKKOR VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN

x-es oszlop

0

0

HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,

AKKOR NINCS MEGOLDÁS

x-es oszlop

0

NEM 0

A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL

A fent maradt változók úgynevezett szabad változók, ők t, s és egyéb néven szerepelnek tovább a történetben.

A MEGOLDÁS:

ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:

SZABADSÁGFOK=ahány  fönt marad

(most a szabadságfok 1)

RANG=ahány  levihető

(most a rang 2)

A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL

Itt már nincs további teendő


Egy paraméteres egyenletrendszer (Bázistranszf.)

Az és  paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?

Elkezdjük megoldani a bázistranszformációval.

Olyan sorban és oszlopban, ahol paraméter van, nem ajánlatos generáló elemet választani.

Ezeket tehát kerüljük el!

Van itt ez a marhajó 1-es, válasszuk ezt.

Elkerüljük a paramétereket, amíg lehet.

Most elkezdünk egy kicsit gondolkodni.

1.ESET   és

végtelen sok megoldás

2.ESET   és

nincs megoldás

3.ESET   és

 levihető és egy megoldás

Na ennyi gondolkodás elég is volt.


Egy rondább paraméteres egyenletrendszer (Bázistranszf.)

Az ,  és  paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?

Amíg lehet ne válasszunk generáló elemet olyan sorban vagy oszlopban,

amiben paraméter van.

van itt ez a remek 1-e, válaszzuk ezt!

Aztán ezt a másik 1-est választjuk. Marha nagy szerencsénk van a nullákkal.

A nulla miatt ebben a sorban minden elemből nullát vonunk ki,

tehát az egész sor marad ahogy van,

meg itt is,

sőt itt is.

Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában

és oszlopában jó sok nulla legyen. A nullák megkönnyítik az életünket.

A bázistranszformáció itt elakad, a legalsó sorban ugyanis csupa nulla van, a felette

lévőben pedig paraméter.

Kezdjünk el kicsit gondolkodni!

1.ESET  

nincs megoldás  és    bármi lehet.

2.ESET  

nincs megoldás,  és  bármi lehet.

3.ESET  és

ekkor  levihető, végtelen sok megoldás, a szabadságfok egy

Van itt még valami.

Itt ugye, ha nem nulla van, akkor nincs megoldás.

De itt mindegy mi van, ha például ,

ennek akkor is van megoldása.

Ne felejtsük el ugyanis, hogy ezek

a feltételek csak -s sorokra vonatkoznak.

Ez -s sor, tehát itt

tényleg nincs megoldás.

Ebben a sorban viszont már x van,

így semmilyen szabálynak nem kell teljesülnie.


Vektorrendszer rangjának kiszámolása (Bázistranszf.)

Számítsuk ki a

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az  és  vektor.

 illetve  

Akkor állítható elő az  vektor, ha léteznek olyan  számok, hogy

    illetve  

Ez tulajdonképpen két egyenletrendszer:

Ezeket kell megoldanunk. Ha van megoldás, akkor az adott vektor előállítható, ha nincs megoldás, akkor nem állítható elő.

megoldjuk:

van megoldás,

így az  vektor előállítható

Például

Jön a szokásos, és persze nagyon izgalmas bázistranszformáció.

nincs megoldás,

ezért a  vektor sajna nem állítható elő

A bázistranszformáció itt sajnos elakad, mert az -s sorokban már csak nullák vannak.

Ilyenkor vagy végtelen sok megoldás van vagy nincs megoldás.

Lássuk, hogyan áll elő az  vektor!

Az egyenletrendszer megoldását a

szokásos módon olvassuk le.

 és  tetszőleges

Ha mondjuk  és  nulla, akkor

A vektorrendszer rangja annyi, ahány x-et lehoztunk, vagyis most éppen kettő.


Vektorrendszer rangja és vektorok előállíthatósága (Bázistranszf.)

Az      független vektorok, és

Mekkora a  vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a  vektor?

A  vektor akkor állítható elő, ha van olyan  amire

A jobb oldalt átrendezzük úgy, hogy lássuk mennyi van az      vektorokból

Mivel      független vektorok, ha például a bal oldalon egy darab  van,

akkor a jobb oldalon is egy darab kell, hogy legyen,

vagy ha a bal oldalon két  van, akkor jobb oldalon is.

Érdemes megfigyelni, hogy ezt a táblázatot

rögtön a feladatból is felírhatjuk.

Nincs más dolgunk, mint összeszámolni, hány darab  van,

aztán azt, hogy hány darab  és végül hány .

A megoldás:      

A vektor előáll:  

A vektorrendszer rangja pedig, mivel mindhárom x-et lehoztuk,

így a jelek szerint három.


Mátrix inverze négyzetes mátrixoknál (Bázistranszf.)

Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.

Az   -es   mátrix inverze egy olyan  mátrix, ami azt tudja, hogy

A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát  ha a szereplőket megcseréljük,

akkor lehet, hogy valami egészen más  mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.

Mindkét  mátrixot  inverznek nevezzük

    ilyenkor  jobb oldali inverz

    ilyenkor  bal oldali inverz

Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,

hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis

Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.

Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,

és maradjunk ennél a sorrendnél.

Itt van például egy mátrix:

Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.

Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.

A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.

Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.

Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy  meg  meg  stb.

De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy

miért.

A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak ,  és .

Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.

Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi ,  és

Ehhez végezzük el a szorzást!

A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.

Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.

Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.

Valójában elég egyetlen táblázat.

A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.

A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.

A kapott megoldás éppen az inverz.

Csak annyi dolgunk van, hogy

sorba rakjuk a sorokat:

Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:

Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,

és mellé írjuk az egységmátrixot.

Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.


Az inverz nem négyzetes mátrixoknál (Bázistranszf.)

Elérkezett az idő, hogy olyan mátrixok inverzét is kiszámoljuk, amelyek nem -esek.

Ilyenkor a jobb oldali inverz és a bal oldali inverz nem egyezik meg.

 ilyenkor  jobb oldali inverz

 ilyenkor  bal oldali inverz

Itt van például egy mátrix

A bal oldali inverz 3x2-es lesz

A jobb oldali inverz szintén 3x2-es lesz

Mindkettőt bázistranszformációval számoljuk ki

Itt sajnos van egy kis gond.

bal oldali inverz

most nincs

jobb oldali inverz

most épp van

Maradt egy -s sor, amiben nem

mindenki nulla, tehát nincs megoldás.

Itt viszont  van  megoldás,

a fönt maradt  legyen mondjuk .


Egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval

Végtelen sok megoldás, nulla megoldás, szabadságfok (Gauss)

Egyenletrendszer végtelen sok megoldással (Bázistranszf.)

Egyenletrendszer végtelen sok megoldással (Gauss)

Egy paraméteres egyenletrendszer (Gauss)

Egy rondább paraméteres egyenletrendszer (Gauss)

Vektorrendszer rangjának kiszámolása (Gauss)

Vektorrendszer rangja és vektorok előállíthatósága (Gauss)

Mátrix inverze négyzetes mátrixoknál (Gauss)

Az inverz nem négyzetes mátrixoknál (Gauss)

Gauss elimináció és elemi bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció