- Algebra, nevezetes azonosságok
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Síkgeometria
- Egybevágósági transzformációk
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Térgeometria
- Valószínűségszámítás
- A várható érték és a szórás
- Statisztika
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Koordinátageometria
1.
a) Adottak az $ \underline{a}=(x,3) $ és $ \underline{b}=(5,2) $ vektorok. Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy a két vektor merőleges legyen egymásra.
b) Adjuk meg a +90° és -90°-os elforgatottját az $ \underline{a}=(3,2) $ vektornak.
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
a) Írjuk fel az egyenes egyenletét ezekből az adatokból: $P(3,4), \; \underline{n}=(6,7)$
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami áthalad a $P(3,4)$ és $Q(7,9)$ pontokon.
c) Határozzuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját:
\( e_1: 3x+4y=10 \)
\( e_2: 6x+y=13 \)
d) Számoljuk ki az $ABC$ háromszög magasságpontjának koordinátáit, ha $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$.
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
a) Milyen távol vannak a $Q(1,3)$ és $R(6,3)$ pontok az $e$ egyenestől, ha $e: 3x-4y-6=0$.
b) Egy háromszög csúcsai $A(-2,-3)$, $B(6,3)$, $C(-1,6)$. Határozzuk meg ebben a háromszögben a $c$ oldal hosszát és a $C$ csúcsához tartozó magasságvonal hosszát.
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x-2)^2 + (y+2)^2 = 4 $
b) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2+y^2-6x-2y=10 $
c) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2-8x+y^2+2y=-8 $
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Keressük annak a körnek az egyenletét, ami érinti a koordinátatengelyeket, és átmegy a $P(1,2)$ ponton.
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
a) Hogyan kell $m$ értékét megválasztani úgy, hogy az $y=mx+4$ egyenes áthaladjon a $2x-y+1=0$ és az $y=x+5$ egyenesek metszéspontján?
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az $x-3y-6=0$ és a $4x+y=0$ egyenesek metszéspontján és normálvektora $(3,1)$.
c) Írjuk fel a háromszög oldalegyeneseinek egyenletét, ha az egyik csúcsa $A(3,-4)$, és két magasságvonalának egyenlete $7x-2y-1=0$ és $2x-7y-6=0$.
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Határozzuk meg a $(-1,0)$, $(5,0)$ és $(1,4)$ csúcsokkal megadott háromszög súlypontjának, magasságpontjának és a körülírt kör középpontjának a koordinátáit.
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Mekkorák a háromszög magasságai, ha csúcsai: $A(-4,6)$, $B(-2,-3)$, $C(4,5)$?
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Egy háromszög oldalegyeneseinek az egyenlete: $5x+2y-29=0$, $9x-y-43=0$, $14x+y-49=0$. Milyen messze van a háromszög súlypontja a háromszög oldalaitól?
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-1,-1)$, $B(1,5)$, $C(7,-2)$.
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$, és számítsuk ki a magasságpont koordinátáit is.
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Adot az $ABC$ háromszög, $A(-1,1)$, $B(7,3)$ és $C(3,9)$ csúcsai.
a) Határozzuk meg a súlypont koordinátáit!
b) Határozzuk meg a köré írható kör középpontjának koordinátáit!
c) Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit!
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Adot az $ABC$ háromszög, $A(-2,-3)$, $B(6,3)$ és $C(-1,6)$ csúcsai. Mekkora az $AB$ oldal, és a hozzá tartozó magasság? Mekkora az $AB$ oldalhoz tartozó súlyvonal?
Megnézem, hogyan kell megoldani
14.
a) Mekkora szögben metszi a $3x+2y=5$ egyenletű egyenes az $x$ tengelyt?
b) Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a $P(2,4)$ ponton, és 45 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel.
c) Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amely 60 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel és az $y$ tengelyt 4-ben metszi.
d) Egy egyenes átmegy a $P(2,5)$ és a $Q(4,1)$ pontokon. Mekkora szögben metszi az $x$ tengelyt?
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja a $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ a $Q(8,2)$ és az $R(-1,-1)$ pontokon.
Megnézem, hogyan kell megoldani
17. Egy rombusz rövidebbik átlójának két végpontja: $B(9,-1)$ és $D(1,5)$. A hosszabbik átló a rövidebb átló kétszerese. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit.
Megnézem, hogyan kell megoldani
18. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a $(2,9)$ ponton áthalad, és mindkét koordináta tengelyt érinti.
Megnézem, hogyan kell megoldani
20. Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(-2,-3)$ ponton, és az $e: 4x-3y=26$ egyenest az 5 abszcisszájú pontjában érinti.
Megnézem, hogyan kell megoldani
21. Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(5,7)$ ponton, és az $e: 4x+3y=42$ egyenest a 6 abszcisszájú pontjában érinti.
Megnézem, hogyan kell megoldani
22. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, melynek sugara $2 \sqrt{5}$ és az $e: x+2y-9=0$ egyenes érinti a $P(5,2)$ pontban.
Megnézem, hogyan kell megoldani
24. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,7)$ ponton és az $e: x+3y-19=0$ és az $f: 2x-y+15=0$ egyenesek metszéspontján.
Megnézem, hogyan kell megoldani
25. Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(8,5)$, valamint a $Q(2,-3)$ ponton és a középpontja az $x+3y=8$ egyenletű egyenesen van.
Megnézem, hogyan kell megoldani
26. Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,14)$, $Q(12,-10)$, valamint az $R(-5,7)$ pontokon.
Megnézem, hogyan kell megoldani
27. Keressük meg annak az $x$ tengelyt érinő körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(5,2)$ ponton és középpontja az $x+y=6$ egyenletű egyenesen van.
Az egyenes egyenlete
Az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú és a $P(x_0,y_0)$ ponton átmenő $e$ egyenes egyenlete:
\( e: A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 \)
Egyenes irányvektora
Az irányvektor az egyenessel párhuzamos nem nullvektor.
Egyenes normálvektora
A normálvektor az egyenesre merőleges nem nullvektor.
Pont és egyenes távolsága a koordinátarendszerben
Egy $P$ pontnak az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú $e$ egyenestől mért távolsága:
\( d(P, e) = \bigm| \frac{ e(P)}{ \sqrt{A^2+B^2} } \bigm| \)
Itt $e(P)$ azt jelenti, hogy a $P$ pont koordinátáit behelyettesítjük az $e$ egyenes egyenletébe.
Kör egyenlete
$C(u,v)$ középpontú és $r$ sugarú kör egyenlete:
\( (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 \)
Itt végre érteni fogod a koordináta geometriát, sőt ki fog derülni, hogy nagyon egyszerű. Megnézzük mik azok a vektorok, hogyan kell kiszámolni a hosszukat, két vektor szögét, aztán az is kiderül, hogyan jön ki egy szakasz felezőpontja, két pont távolsága. Elmeséljük mi az, hogy az egyenes egyenlete, egyáltalán mi értelme van ennek, nézünk sok-sok példát egyenes egyenletének a felírására. Kiszámoljuk egy pontnak és egy egyenesnek a távolságát, sőt készítünk egy egyszerű kis képletet, amivel bármelyik egyenesnek bármelyik ponttól mért távolsága szuper-egyszerűen kiszámolható. Aztán jön a kör kanonikus egyenlete, gyakoroljuk egy kicsit a teljes négyzetté kiegészítést is. Ezek után rengeteg koordinátageometria feladat kövezik körökkel, egyenesekkel, háromszögek nevezetes pontjaival, magaságponttal, a súlyponttal, a körülírt kör középpontjával. Minden koordinátageometria feladat részletes megoldással.
