Koordinátageometria

1.

a) Adottak az $ \underline{a}=(x,3) $ és $ \underline{b}=(5,2) $ vektorok. Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy a két vektor merőleges legyen egymásra.

b) Adjuk meg a +90° és -90°-os elforgatottját az $ \underline{a}=(3,2) $ vektornak.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Írjuk fel az egyenes egyenletét ezekből az adatokból: $P(3,4), \; \underline{n}=(6,7)$

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami áthalad a $P(3,4)$ és $Q(7,9)$ pontokon.

c) Határozzuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját:

\( e_1: 3x+4y=10 \)

\( e_2: 6x+y=13 \)

d) Számoljuk ki az $ABC$ háromszög magasságpontjának koordinátáit, ha $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$.

Megnézem, hogyan kell megoldani


3.

a) Milyen távol vannak a $Q(1,3)$ és $R(6,3)$ pontok az $e$ egyenestől, ha $e: 3x-4y-6=0$.

b) Egy háromszög csúcsai $A(-2,-3)$, $B(6,3)$, $C(-1,6)$. Határozzuk meg ebben a háromszögben a $c$ oldal hosszát és a $C$ csúcsához tartozó magasságvonal hosszát.

Megnézem, hogyan kell megoldani


4.

a) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x-2)^2 + (y+2)^2 = 4 $

b) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2+y^2-6x-2y=10 $

c) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2-8x+y^2+2y=-8 $

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Keressük annak a körnek az egyenletét, ami érinti a koordinátatengelyeket, és átmegy a $P(1,2)$ ponton.

Megnézem, hogyan kell megoldani


6.

a) Hogyan kell $m$ értékét megválasztani úgy, hogy az $y=mx+4$ egyenes áthaladjon a $2x-y+1=0$ és az $y=x+5$ egyenesek metszéspontján?

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az $x-3y-6=0$ és a $4x+y=0$ egyenesek metszéspontján és normálvektora $(3,1)$.

c) Írjuk fel a háromszög oldalegyeneseinek egyenletét, ha az egyik csúcsa $A(3,-4)$, és két magasságvonalának egyenlete $7x-2y-1=0$ és $2x-7y-6=0$.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Határozzuk meg a $(-1,0)$, $(5,0)$ és $(1,4)$ csúcsokkal megadott háromszög súlypontjának, magasságpontjának és a körülírt kör középpontjának a koordinátáit.

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Mekkorák a háromszög magasságai, ha csúcsai: $A(-4,6)$, $B(-2,-3)$, $C(4,5)$?

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Egy háromszög oldalegyeneseinek az egyenlete: $5x+2y-29=0$, $9x-y-43=0$, $14x+y-49=0$. Milyen messze van a háromszög súlypontja a háromszög oldalaitól?

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-1,-1)$, $B(1,5)$, $C(7,-2)$.

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$, és számítsuk ki a magasságpont koordinátáit is.

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Adot az $ABC$ háromszög, $A(-1,1)$, $B(7,3)$ és $C(3,9)$ csúcsai.

a) Határozzuk meg a súlypont koordinátáit!

b) Határozzuk meg a köré írható kör középpontjának koordinátáit!

c) Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit!

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Adot az $ABC$ háromszög, $A(-2,-3)$, $B(6,3)$ és $C(-1,6)$ csúcsai. Mekkora az $AB$ oldal, és a hozzá tartozó magasság? Mekkora az $AB$ oldalhoz tartozó súlyvonal?

Megnézem, hogyan kell megoldani


14.

a) Mekkora szögben metszi a $3x+2y=5$ egyenletű egyenes az $x$ tengelyt?

b) Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a $P(2,4)$ ponton, és 45 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel.

c) Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amely 60 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel és az $y$ tengelyt 4-ben metszi.

d) Egy egyenes átmegy a $P(2,5)$ és a $Q(4,1)$ pontokon. Mekkora szögben metszi az $x$ tengelyt?

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja a $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ a $Q(8,2)$ és az $R(-1,-1)$ pontokon.

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Egy rombusz rövidebbik átlójának két végpontja: $B(9,-1)$ és $D(1,5)$. A hosszabbik átló a rövidebb átló kétszerese. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit.

Megnézem, hogyan kell megoldani


18. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a $(2,9)$ ponton áthalad, és mindkét koordináta tengelyt érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani


20. Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(-2,-3)$ ponton, és az $e: 4x-3y=26$ egyenest az 5 abszcisszájú pontjában érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani


21. Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(5,7)$ ponton, és az $e: 4x+3y=42$ egyenest a 6 abszcisszájú pontjában érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani


22. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, melynek sugara $2 \sqrt{5}$ és az $e: x+2y-9=0$ egyenes érinti a $P(5,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani


24. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,7)$ ponton és az $e: x+3y-19=0$ és az $f: 2x-y+15=0$ egyenesek metszéspontján.

Megnézem, hogyan kell megoldani


25. Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(8,5)$, valamint a $Q(2,-3)$ ponton és a középpontja az $x+3y=8$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani


26. Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,14)$, $Q(12,-10)$, valamint az $R(-5,7)$ pontokon.

Megnézem, hogyan kell megoldani


27. Keressük meg annak az $x$ tengelyt érinő körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(5,2)$ ponton és középpontja az $x+y=6$ egyenletű egyenesen van.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt végre érteni fogod a koordináta geometriát, sőt ki fog derülni, hogy nagyon egyszerű. Megnézzük mik azok a vektorok, hogyan kell kiszámolni a hosszukat, két vektor szögét, aztán az is kiderül, hogyan jön ki egy szakasz felezőpontja, két pont távolsága. Elmeséljük mi az, hogy az egyenes egyenlete, egyáltalán mi értelme van ennek, nézünk sok-sok példát egyenes egyenletének a felírására. Kiszámoljuk egy pontnak és egy egyenesnek a távolságát, sőt készítünk egy egyszerű kis képletet, amivel bármelyik egyenesnek bármelyik ponttól mért távolsága szuper-egyszerűen kiszámolható. Aztán jön a kör kanonikus egyenlete, gyakoroljuk egy kicsit a teljes négyzetté kiegészítést is. Ezek után rengeteg koordinátageometria feladat kövezik körökkel, egyenesekkel, háromszögek nevezetes pontjaival,  magaságponttal, a súlyponttal, a körülírt kör középpontjával. Minden koordinátageometria feladat részletes megoldással.



FELADAT | kör egyenlete

Vektorok összeadása, hossza, skaláris szorzata, és 90°-os forgatása

FELADAT | egyenesek egyenletei és metszéspontjai

Az egyenes egyenlete, egyenesek metszéspontja

Pont és egyenes távolsága

Hogyan kell kiszámolni egy háromszögben a súlypont, magasságpont és az O pont koordinátáit

Egy háromszögben a magasságvonalak hossza

FELADAT | háromszög súlyvonalai és súlypontja

FELADAT | háromszög területe

FELADAT | háromszög magasságpontja

FELADAT | háromszög nevezetes pontjai

FELADAT | háromszög magasságvonala és oldalai

FELADAT | kör egyenlete

A kör egyenlete

FELADAT | Kör egyenlete

FELADAT | Kör egyenlete

FELADAT | Rombusz csúcsai vektorokkal

FELADAT | Koordinátatengelyeket érintő kör

FELADAT | Kör és a kört érintő egyenes

FELADAT | Még egy kör és a kört érintő egyenes

FELADAT | Kör egyenlete három pontja alapján

FELADAT | kör egyenlete

FELADAT | kör egyenlete

FELADAT | kör egyenlete

FELADAT | egyenes egyenlete

Az egyenes iránytangenses egyenlete