LU-felbontás bármely nxn-es mátrixra | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, mit tehetünk akkor, ha egy mátrixnak nem létezik LU-felbontása. A permutációs mátrixok segítségével mégis készíthetünk egy felbontást. Így jutunk el az általános LU-felbontás képletéhez.

A képsor tartalma

Most egy teljesen reménytelen vállalkozásba kezdünk bele…

Megpróbáljuk elkészíteni ennek a mátrixnak az LU-felbontását.

A dolog emiatt a 0 miatt eleve kudarcra van ítélve.

Hát, akkor ennyi volt. Azért legalább megpróbáltuk…

Az A mátrixnak nincs LU-felbontása.

Létezik viszont egy permutációs mátrix.

Ezt egy közönséges egységmátrixból kapjuk úgy, hogy néhány sorát fölcseréljük.

Hogyha most egy másik mátrixot megszorzunk ezzel a permutációs mátrixszal…

Akkor a sorcsere abban a mátrixban is megtörténik.

Nekünk itt éppen egy ilyen sorcserére van szükségünk.

Vesszük ezt a permutációs mátrixot…

És megszorozzuk vele az A mátrixot.

Csak arra vigyázzunk, hogy a sorcseréhez mindig balról kell szorozni.

És most jöhet az LU-felbontás.

Nem érdemes nagyon elkeserednünk amiatt, hogy csak ennek a sorcserés mátrixnak tudjuk megcsinálni az LU-felbontását.

Hiszen, ha belegondolunk, hogy mennyi kudarc ért már életünk során…

Nem, inkább ne ebbe gondoljunk bele.

Abba gondoljunk bele, hogy a sorcsere hatására a mátrix rangja nem változik…

az egyenletrendszer megoldásai sem változnak…

a mátrix determinánsa pedig csak előjelet vált.

Vagyis minden dolog, ami miért az LU-felbontást csináljuk ugyanúgy működik a sorcserés mátrixra is.

Végül még egy dolog.

A permutációs mátrixoknak van egy nagyon vicces tulajdonsága.

Ha megszorozzuk őket saját magukkal, akkor mindig az egységmátrixot kapjuk.

Mindezt arra tudnánk használni, hogy…

Bármely -es mátrixnak van alakú felbontása, ahol L és U a szokásos háromszögmátrixok és P egy permutációmátrix.

Számoljuk ki a rangját és a determinánsát ennek a B mátrixnak, és adjuk meg az LU-felbontását.

Az már biztos, hogy szükség lesz egy sorcserére.

És ha látjuk egy kicsit előre a jövőt…

Akkor nem ezeket a sorokat cseréljük föl.

Hanem ezeket.

Mégpedig ennek a permutációs mátrixnak a segítségével.

És most jöhet az LU-felbontás.

Végül válaszoljunk a kérdésekre.

A rang úgy tűnik 3.

A determináns pedig…

Csak éppen ezt még meg kell szorozni a permutációs mátrix determinánsával.

Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Otthonról elérhető és olcsóbb, mint egy magántanár és akkor használom, amikor akarom.

    Milán, 19
  • A mateking miatt sikerült az érettségi és az összes egyetemi matekos tárgyam.

    Míra, 21
  • Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.

    Tibor, 23
  • Sokkal jobb, mint bármelyik egyetemi előadásom.

    Dani, 20
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez