Egy V vektortérben a vektorok generátor-rendszert alkotnak,ha minden

vektor a V vektortérben előáll alakban.

Vegyük például az vektorteret, vagyis a hétköznapi értelemben vett teret.

Ebben a vektortérben generátor-rendszert alkot a

mert segítségükkel minden vektor előáll.

Nézzük meg! Van itt mondjuk egy vektor

ami valóban előállítható a vektorokkal.

Bármilyen vektor előállítható. Ha mondjuk

Akkor íme, már meg is van:

Ha ezekhez a vektorokhoz egy újabb vektort hozzáveszünk, akkor ugyanúgy generátor-rendszert kapunk.

Vegyük hozzá mondjuk ezt:

Ha a vektort eddig elő tudtuk előállítani, akkor ezután is elő tudjuk:

Egyszerűen nullát veszünk az új vektorból, így olyan,mintha az új vektor ott se volna.

Ha viszont az eredeti generátorrendszerből egy vektort elveszünk, akkor az már nem generátor-rendszer.

Próbáljuk csak meg a vektort a megmaradt két vektorból előállítani. Nem fog menni.

Érdemes tehát megjegyezni, hogy egy generátor-rendszerhez újabb vektorokat hozzávéve ismét generátor-rendszert kapunk, ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor már nem biztos.

A kérdés az, hogy -ban hány darab vektor lehet független és hány darab vektor lehet generátor-rendszer. Erről szól a következő remek táblázat.

vektorok

száma

megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen

-ban

megadható-e ennyi vektor úgy, hogy generátor-rendszer legyen -ban

1

2

3

4

5

Egy darab vektor biztosan megadható úgy, hogy független legyen, viszont nem elegendő ahhoz, hogy generáljon.

Ő egymaga, csak egy egyenest képes előállítani.

Két vektor is megadható úgy, hogy független legyen,viszont ezek sem generátor-rendszer.

Ezek ketten egy síkot feszítenek ki.

Vagyis a sík minden vektorát előállítják, de mást nem.

Három vektor még mindig megadható úgy, hogy független legyen, és ahogyan ezt már az előbb láttuk generátor-rendszer is lesz.

Ez a három vektor kifeszíti a teret.

Most vegyünk egy negyedik vektort is.

Mivel az eddigi három vektor generátor-rendszer, így bármi is ez a negyedik vektor, azt ők képesek előállítani.

Vagyis ezek négyen már nem függetlenek, de továbbra is generátor-rendszer.

Ugyanez a helyzet,ha hozzáveszünk még egy ötödik vektort is.

-ban pontosan három vektor adható meg úgy, hogy azok még éppen függetlenek legyenek,de már generáljanak.

A független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.

Egy vektortér dimenziója a bázis elemszáma. Így jutunk el tudományosan arra az álláspontra, hogy a tér dimenziója éppen három.

Ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk,

független rendszert kapunk

(ha hozzáveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)

Ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk,

generátor-rendszert kapunk

(ha elveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)

Ha -ben van n darab független vektor, akkor az generátor-rendszer is

(mert bázis)

Ha -ben van n darab vektorból álló generátor-rendszer,

akkor ezek a vektorok függetlenek is

(mert bázis)

A bázis minden vektort egyértelműen állít elő, míg -ben azok a

generátor-rendszerek pedig, amelyek n-nél több vektorból állnak,

minden vektort végtelensokféleképpen