Barion Pixel Merőleges vetítés, ellentmondó egyenletrendszerek optimális megoldása | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is, hogyan lehet mégis megoldani egy ellentmondásos egyenletrendszert. Megnézzük, hogy a merőleges vetítés segítségével, hogyan tehető megoldhatóvá bármelyik egyenletrendszer, aztán nézünk egy egyszerű megoldási módszert ellentmondásos egyenletrendszerek megoldására, amit Gauss-féle normálegyenletnek nevezünk.

A képsor tartalma

Van egy nagyon ravasz dolog, amire a merőleges vetítéseket használhatjuk.

A vetítés működik síkban is…

És működik térben is.

Sőt, tovább általánosítható egy V vektortérben bármilyen W altérre.

Hogyha az A mátrix oszlopvektorai W-nek egy bázisát alkotják, akkor a W altérre történő merőleges vetítés mátrixa:

Itt van például ez a sík:

Ez a sík a háromdimenziós térben egy kétdimenziós altér.

És itt van a síkban két vektor.

Ez a két vektor a síknak egy bázisa.

Berakjuk most szépen őket ebbe az A mátrixba…

És egy kis számolással meg is van a merőleges vetítés mátrixa.

A ravasz dolog pedig most jön.

Itt van ez az egyenletrendszer…

Az egyenletrendszer együttható-vektorai mind ugyanabban a síkban helyezkednek el.

A jobb oldalon álló vektor viszont…

Na, az nincs benne ebben a síkban.

Így hát aztán nem meglepő, hogy az a1, a2 és a3 vektorok lineáris kombinációjával…

A b vektor nem állítható elő.

Vagyis az egyenletrendszer nem megoldható.

Az, hogy ez az egyenletrendszer nem megoldható, még nem nagy tragédia.

Gyakran vannak azonban olyan helyzetek, amikor valamilyen gazdasági vagy mérnöki probléma megoldása közben az ismeretlen mennyiségek meghatározására méréseket végzünk.

Az elkerülhetetlen mérési hibák pedig ellentmondó egyenletrendszerre vezetnek.

Vajon hogyan határozható meg a valóságban egészen biztosan létező megoldás, ezekből az ellentmondásos, tehát nem megoldható egyenletrendszerekből?

A gondot az okozza, hogy az egyenletrendszer együttható-vektorai által kifeszített altérben a b vektor nincsen benne.

Ettől ellentmondásos az egyenletrendszer és ezért nincs megoldása.

Hogyha a gondot az okozza, hogy a b vektor nincs benne az együttható-vektorok által kifeszített altérben…

Hát vetítsük bele, és minden rendbe is jön.

Ezzel a ravasz megoldással intézhetjük el azokat az egyenletrendszereket, amelyek elsőre nem megoldhatók.

Belevetítjük az együttható-vektorok síkjába a b vektort…

És most már a jobb oldalon álló vektor is ugyanabban a síkban van.

Ezt az egyenletrendszert bármelyik szokásos módszerrel megoldhatjuk.

Az elemi bázistranszformációval vagy a Gauss-eliminációval is.

Hogyha ezt a megoldást most behelyettesítjük az eredeti egyenletrendszerbe…

Akkor nem egészen fog stimmelni.

A kapott megoldás tehát nem pontosan az eredeti egyenletrendszer megoldása…

Ne feledkezzünk meg ugyanis arról az apróságról, hogy az eredeti egyenletrendszernek egyáltalán nincs is megoldása.

Amit így kaptunk nem más, mint az eredeti egyenletrendszer optimális megoldása.

Olyankor, amikor az eredeti egyenletrendszer megoldható, az optimális megoldás egybeesik a valódi megoldással.

Abban az esetben pedig, amikor egyébként nincs megoldás…

Nos, olyankor az optimális megoldás adja a megoldás legjobb közelítését.

Egyetlen kis gond van csak ezzel.

Az, hogy túl sokat kellett számolni.

De itt jön egy őrülten jó trükk, és hopp, egy pillanat alatt megkapjuk ugyanezt.

Az egyenletrendszer optimális megoldásai megegyeznek az

egyenletrendszer megoldásaival.

Hát, ez valóban elég barátságosnak tűnik.

Próbáljuk is ki.

Nem kell mást tennünk, mint az egyenletrendszer együtthatómátrixát transzponálni…

És a transzponáltat megszorozni az A mátrixszal …

Meg a b vektorral.

Ennek a megoldásai lesznek az eredeti egyenletrendszer optimális megoldásai.

Hát igen, valóban ugyanaz jött ki így is.

Rögtön folytatjuk…

Van egy nagyon ravasz dolog, amire a merőleges vetítéseket használhatjuk.

A vetítés működik síkban is…
És működik térben is.

Sőt, tovább általánosítható egy V vektortérben bármilyen W altérre.

Hogyha az A mátrix oszlopvektorai W-nek egy bázisát alkotják, akkor a W altérre történő merőleges vetítés mátrixa:

Itt van például ez a sík:

Ez a sík a háromdimenziós térben egy kétdimenziós altér.

És itt van a síkban két vektor.
Ez a két vektor a síknak egy bázisa.

Berakjuk most szépen őket ebbe az A mátrixba…
És egy kis számolással meg is van a merőleges vetítés mátrixa.

A ravasz dolog pedig most jön.

Itt van ez az egyenletrendszer…

Az egyenletrendszer együttható-vektorai mind ugyanabban a síkban helyezkednek el.


A jobb oldalon álló vektor viszont…
Na, az nincs benne ebben a síkban.

Így hát aztán nem meglepő, hogy az a1, a2 és a3 vektorok lineáris kombinációjával…
A b vektor nem állítható elő.

Vagyis az egyenletrendszer nem megoldható.

Az, hogy ez az egyenletrendszer nem megoldható, még nem nagy tragédia.


Gyakran vannak azonban olyan helyzetek, amikor valamilyen gazdasági vagy mérnöki probléma megoldása közben az ismeretlen mennyiségek meghatározására méréseket végzünk.

Az elkerülhetetlen mérési hibák pedig ellentmondó egyenletrendszerre vezetnek.

Vajon hogyan határozható meg a valóságban egészen biztosan létező megoldás, ezekből az ellentmondásos, tehát nem megoldható egyenletrendszerekből?

A gondot az okozza, hogy az egyenletrendszer együttható-vektorai által kifeszített altérben a b vektor nincsen benne.

Ettől ellentmondásos az egyenletrendszer és ezért nincs megoldása.

Hogyha a gondot az okozza, hogy a b vektor nincs benne az együttható-vektorok által kifeszített altérben…

Hát vetítsük bele, és minden rendbe is jön.

Ezzel a ravasz megoldással intézhetjük el azokat az egyenletrendszereket, amelyek elsőre nem megoldhatók.

Belevetítjük az együttható-vektorok síkjába a b vektort…


És most már a jobb oldalon álló vektor is ugyanabban a síkban van.

Ezt az egyenletrendszert bármelyik szokásos módszerrel megoldhatjuk.
Az elemi bázistranszformációval vagy a Gauss-eliminációval is.


Hogyha ezt a megoldást most behelyettesítjük az eredeti egyenletrendszerbe…
Akkor nem egészen fog stimmelni.

A kapott megoldás tehát nem pontosan az eredeti egyenletrendszer megoldása…
Ne feledkezzünk meg ugyanis arról az apróságról, hogy az eredeti egyenletrendszernek egyáltalán nincs is megoldása.

Amit így kaptunk nem más, mint az eredeti egyenletrendszer optimális megoldása.

Olyankor, amikor az eredeti egyenletrendszer megoldható, az optimális megoldás egybeesik a valódi megoldással.

Abban az esetben pedig, amikor egyébként nincs megoldás…
Nos, olyankor az optimális megoldás adja a megoldás legjobb közelítését.
Egyetlen kis gond van csak ezzel.

Az, hogy túl sokat kellett számolni.

De itt jön egy őrülten jó trükk, és hopp, egy pillanat alatt megkapjuk ugyanezt.



Az egyenletrendszer optimális megoldásai megegyeznek az

egyenletrendszer megoldásaival.

Hát, ez valóban elég barátságosnak tűnik.

Próbáljuk is ki.

Nem kell mást tennünk, mint az egyenletrendszer együtthatómátrixát transzponálni…


És a transzponáltat megszorozni az A mátrixszal …
Meg a b vektorral.

Ennek a megoldásai lesznek az eredeti egyenletrendszer optimális megoldásai.


Hát igen, valóban ugyanaz jött ki így is.
Rögtön folytatjuk…

BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez