Gauss-féle normálegyenlet, legjobb közelítés | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is, hogy mi az a Gauss-féle normálegyenlet és hogyan használható az ellentmondásos, vagyis nem megoldható egyenletrendszerek megoldására. Kiderül, hogy mit jelent az optimális megoldás, megnézzük, hogyan jön ki a legkisebb abszolútértékű optimális megoldás, vagyis a minimális optimális megoldás. Azt is látni fogjuk, hogy az altérre történő vetítések közül a merőleges vetítés adja mindig a legjobb közelítést.

A képsor tartalma

Az egyenletrendszereknél tartottunk…

Annyit már tudunk, hogyha van egy olyan egyenletrendszer, ami ellentmondásos…

Akkor még azért van remény a megoldásra.


Ennek az egyenletrendszernek az együttható-vektorai…

Egy síkot feszítenek ki.

Egy olyan síkot, amiben a b vektor nincsen benne…

A b vektor tehát egészen biztosan nem áll elő az a1 a2 és a3 vektorok lineáris kombinációjaként.

Így hát az egyenletrendszer nem megoldható.

De ha belevetítjük a b vektort az együttható-vektorok által kifeszített síkba…
Akkor már igen.

Nem kell mást tennünk, mint ezt a másik egyenletrendszert megoldanunk, amit egyébként Gauss-féle normálegyenletnek nevezünk.


Ez pedig már egy szokásos egyenletrendszer, amit mondjuk Gauss-eliminációval szépen megoldunk.

Bár ez a megoldás is ugyanolyan három koordinátás vektor, mint a többiek…
Így hát ez a vektor sehol sem látható az ábrán.

De van itt még egy vicces dolog.
Keressük meg azt a megoldást, amire teljesül, hogy minimális.



Ez nem akkor van, amikor t nulla.

Hanem akkor, amikor ide…
Beírjuk ezeket a koordinátákat.

És így kiszámoljuk x3 értékét.

Meg is van a legkisebb abszolútértékű megoldás.

És itt jön még egy dolog.

A b vektort nem csak merőlegesen vetíthetjük, hanem ferdén is…

Viszont egyedül a merőleges vetítés rendelkezik a legjobb közelítés tulajdonságával.


A vektor legjobb közelítése a W altérben egy olyan vektor, amire minimális.


Mindjárt ki fog derülni, hogy a legjobb közelítés mindig a merőleges vetítés.

Legyen a V vektortérből a W altérbe történő merőleges vetítés mátrixa P.

Így hát a vektor W-re eső merőleges vetülete .

A vektornak a W-re eső valamilyen ferde vetülete pedig .

Lehet ez a W altér akár százdimenziós is, és vektorok mindig egy síkot feszítenek ki.

Mivel a BC szakasz merőleges erre a síkra, így merőleges a síkban fekvő minden szakaszra is.

Tehát merőleges AC-re is.

Így aztán ACB egy derékszögű háromszög, amiben BC egy befogó, AB pedig az átfogó, vagyis

Ez pedig azt jelenti, hogy valóban a legjobb közelítés.

A vektor legjobb közelítése a W altérben egy olyan vektor, amire minimális.


Az egyenletrendszereknél tartottunk…

Annyit már tudunk, hogyha van egy olyan egyenletrendszer, ami ellentmondásos…




Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz.

    Gábor, 18
  • Sokkal jobb, mint bármelyik egyetemi előadásom.

    Dani, 20
  • Ez a legjobban áttekinthető, értelmezhető, használható és a legolcsóbb tanulási lehetőség.

    Eszter, 23
  • Felsőbb éves egyetemisták ajánlották, "kötelező" címszóval.
    Ricsi, 19
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez