Lineáris algebra epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mi az a Gauss-féle normálegyenlet és hogyan használható az ellentmondásos, vagyis nem megoldható egyenletrendszerek megoldására. Kiderül, hogy mit jelent az optimális megoldás, megnézzük, hogyan jön ki a legkisebb abszolútértékű optimális megoldás, vagyis a minimális optimális megoldás. Azt is látni fogjuk, hogy az altérre történő vetítések közül a merőleges vetítés adja mindig a legjobb közelítést.
Az egyenletrendszereknél tartottunk…
Annyit már tudunk, hogyha van egy olyan egyenletrendszer, ami ellentmondásos…
Akkor még azért van remény a megoldásra.
Ennek az egyenletrendszernek az együttható-vektorai…
Egy síkot feszítenek ki.
Egy olyan síkot, amiben a b vektor nincsen benne…
A b vektor tehát egészen biztosan nem áll elő az a1 a2 és a3 vektorok lineáris kombinációjaként.
Így hát az egyenletrendszer nem megoldható.
De ha belevetítjük a b vektort az együttható-vektorok által kifeszített síkba…
Akkor már igen.
Nem kell mást tennünk, mint ezt a másik egyenletrendszert megoldanunk, amit egyébként Gauss-féle normálegyenletnek nevezünk.
Ez pedig már egy szokásos egyenletrendszer, amit mondjuk Gauss-eliminációval szépen megoldunk.
Bár ez a megoldás is ugyanolyan három koordinátás vektor, mint a többiek…
Így hát ez a vektor sehol sem látható az ábrán.
De van itt még egy vicces dolog.
Keressük meg azt a megoldást, amire teljesül, hogy minimális.
Ez nem akkor van, amikor t nulla.
Hanem akkor, amikor ide…
Beírjuk ezeket a koordinátákat.
És így kiszámoljuk x3 értékét.
Meg is van a legkisebb abszolútértékű megoldás.
És itt jön még egy dolog.
A b vektort nem csak merőlegesen vetíthetjük, hanem ferdén is…
Viszont egyedül a merőleges vetítés rendelkezik a legjobb közelítés tulajdonságával.
A vektor legjobb közelítése a W altérben egy olyan vektor, amire minimális.
Mindjárt ki fog derülni, hogy a legjobb közelítés mindig a merőleges vetítés.
Legyen a V vektortérből a W altérbe történő merőleges vetítés mátrixa P.
Így hát a vektor W-re eső merőleges vetülete .
A vektornak a W-re eső valamilyen ferde vetülete pedig .
Lehet ez a W altér akár százdimenziós is, és vektorok mindig egy síkot feszítenek ki.
Mivel a BC szakasz merőleges erre a síkra, így merőleges a síkban fekvő minden szakaszra is.
Tehát merőleges AC-re is.
Így aztán ACB egy derékszögű háromszög, amiben BC egy befogó, AB pedig az átfogó, vagyis
Ez pedig azt jelenti, hogy valóban a legjobb közelítés.
A vektor legjobb közelítése a W altérben egy olyan vektor, amire minimális.
Az egyenletrendszereknél tartottunk…
Annyit már tudunk, hogyha van egy olyan egyenletrendszer, ami ellentmondásos…