Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 12. osztály

Kategóriák
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • A teljes indukció (emelt szint)
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Térgeometria
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Az integrálás (emelt szint)

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Mi az integrálás?
02
 
Alapintegrálok és egyszerűbb integrálások
03
 
A görbe alatti terület és a határozott integrálás
04
 
Két függvény grafikonja közötti tartomány területe
05
 
Egy függvény és az érintője által határolt terület
06
 
Egyszerűbb szorzatok integrálása
07
 
Törtek integrálása feldarabolással
08
 
FELADAT | Határozott integrálás
09
 
FELADAT | Paraméteres integrálás feladat
10
 
További integrálás feladatok

Primitív függvény és határozatlan integrál

Az $f(x)$ függvény primitív függvényének jele $F(x)$ és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk $f(x)$-et, azaz

\( F'(x)=f(x) \)

Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Alapintegrálok

\( \int x^n \; dx = \frac{ x^{n+1}}{n+1}+c \qquad n \neq -1 \)

\( \int \frac{1}{x} \; dx = \ln{ \mid x \mid} + c \)

\( \int e^x \; dx = e^x + c \)

\( \int a^x \; dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + c \)

\( \int \cos{x} \; dx = \sin{x} + c \)

\( \int \sin{x} \; dx = -\cos{x} + c \)

\( \int \frac{1}{\cos^2{x} } \; dx = \tan{x} + c \)

\( \int \frac{1}{\sin^2{x} } \; dx = - \cot{x} + c \)

\( \int \frac{1}{1+x^2} \; dx = \arctan{x} + c \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Alapintegrálok lineáris helyettesítései

\( \int (ax+b)^n \; dx = \frac{ (ax+b)^{n+1}}{n+1} \frac{1}{a}+c \)

\( \int \frac{1}{ax+b} \; dx = \ln{ \mid ax+b \mid}\frac{1}{a} + c \)

\( \int e^{ax+b} \; dx = e^{ax+b}\frac{1}{a} + c \)

\( \int A^{ax+b} \; dx = \frac{A^{ax+b}}{\ln{A}}\frac{1}{a} + c \)

\( \int \cos{(ax+b)} \; dx = \sin{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)

\( \int \sin{(ax+b)} \; dx = -\cos{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)

\( \int \frac{1}{\cos^2{(ax+b)} } \; dx = \tan{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)

\( \int \frac{1}{\sin^2{(ax+b)} } \; dx = - \cot{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)

\( \int \frac{1}{1+(ax+b)^2} \; dx = \arctan{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Newton Leibniz formula

Ha $f(x)$ integrálható az $[a,b]$ intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor a Newton Leibniz formula szerint a határozott integrálját a következőképp számolhatjuk ki:

\( \int_{a}^{b} f(x) \; dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b)-F(a) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Integrálási szabályok | S1

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Integrálási szabályok | T1

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

\( \int \frac{ax+b}{cx+d} \; dx = \int \frac{ \frac{a}{c} (cx+d) + b - \frac{ad}{c} }{ cx+d} \; dx = \int \frac{ \frac{a}{c} (cx+d)}{cx+d} + \frac{E}{cx+d} \; dx = \)

\( = \int \frac{a}{c} + \frac{E}{cx+d} \; dx = \frac{a}{c}x + E \ln{ \mid cx + d \mid} \frac{1}{c} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Végezzük el az alábbi feladatokat.

a) \( f(x)=2x \qquad F(x)=\int f(x) \; dx = \; ? \)

b)  \( f(x)=x^2 \qquad F(x)=\int f(x) \; dx = \; ? \)

c) \( \int_{0}^{1} x^2 \; dx = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Végezzük el az alábbi integrálásokat.

a)  \( \int (4x+3)^7 \; dx = \; ? \)

b)  \( \int \frac{1}{6x+5} \; dx = \; ? \)

c)  \( \int e^{-3x+7} \; dx = \; ? \)

d)  \( \int 5^{2x+4} \; dx = \; ? \)

e)  \( \int \cos{(12x+5)} \; dx = \; ? \)

f)  \( \int \sin{(5x+9)} \; dx = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Végezzük el az alábbi feladatokat.

a) \( \int_0^1 x^2 \; dx = \; ? \)

b) Számoljuk ki, hogy mekkora a területe annak a tartománynak, ami az $f(x)=x^2-4x $ függvény és az x tengely között van a $[0,6]$ intervallumon.

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

a) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2$ és $g(x)=-x^2+4x+16$ függvények között van.

b) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2-6x+10$ és $g(x)=2x+10$ függvények között van.

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Számoljuk ki az $f(x)=-x^2+3x+4$ függvény $x=3$-nál húzható érintője által határolt területet.

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Végezzük el az alábbi integrálásokat.

a)  \( \int \left(x^2+x\right) \left( x^3+x^2+1 \right) \; dx = \; ? \)

b)  \( \int \sqrt{x^7} \left( x^3 + \frac{1}{x} \right) \; dx = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Végezzük el az alábbi integrálásokat.

a)  \( \int  \frac{x^3+x^2+1}{x} \; dx = \; ? \)

b) \( \int \frac{e^{-x}+x^3}{x^3 e^{-x}}  \; dx = \; ? \)

c) \( \int \frac{x+6}{x+2}  \; dx = \; ? \)

d) \( \int  \frac{4x+5}{2x+3} \; dx = \; ? \)

e) \( \int  \frac{x+4}{\sqrt{x+3}} \; dx = \; ? \)

f) \( \int  \tan^2{x} \; dx = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Az $f$ integrálható függvény a $[0,a]$ intervallumon, és primitív függvénye $F$. Számítsuk ki ezt az integrált:

\( I=\int_0^a f(x) \; dx \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Határozzuk meg a $p>0$ paraméter értékét úgy, hogy $ \int_0^p (3x^2-24x+20) \; dx =  0$ teljesüljön!

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mi az integrálás?

Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény

aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.

Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:

f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.

A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.

Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.

Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.

Lássunk néhány példát.

Itt van mondjuk ez:

Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.

Ilyen függvény van, mégpedig az

Itt jön egy másik:

Olyan függvény is van, aminek deriváltja

Ha még emlékszünk rá

Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az

függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.

lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,

de elég annyit megjegyezni, hogy

Végül lássunk még egyet:

Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?

Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.

És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de

Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.

Sőt itt is, meg itt is.

Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.

A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.

Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor

ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t

Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.

Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.

Számoljuk ki például az

görbe alatti területét 0 és 1 között.

Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.

Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.

A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.

Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.

Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.

A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen  jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.

A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.


Alapintegrálok és egyszerűbb integrálások

A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.

Itt van mindjárt az xn

Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.

Kis probléma van ugyan, ha

De éppen itt jön a megoldás.

Aztán végre egy biztos pont az életünkben.

A lista elég hosszú lesz.

És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.

Itt az egyik:

 de  

És itt a másik:

Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon

Logikusnak tűnik, hogy

De sajnos van egy kis gond:

Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.

Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.

Mondjuk ezen lehet segíteni.

Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel

akkor az integrálásnál szorozni kell -val

Vegyük például ezt:

Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.

Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.

Most pedig jöjjenek az izgalmak!


A görbe alatti terület és a határozott integrálás

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.

Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.

Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.

A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.

Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:

Itt jön a primitív függvény:

És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.

Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

A terv a következő:

Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,

aztán a sárga függvény területét is,

végül a kettőt egymásból kivonjuk.

Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.

Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.

Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.

Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.

A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,

oldalai pedig x=a és x=b.

Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,

sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.

Az ilyen normáltartományok területe:

vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,

akkor fordítva.

Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

Először kiszámoljuk a metszéspontokat,

aztán jöhet az integrálás.


Két függvény grafikonja közötti tartomány területe

Egy függvény és az érintője által határolt terület

Van itt egy függvény,

amihez érintőt húzunk az x=3-nál.

Így keletkezik két tartomány.

Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,

a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.

Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.

Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.

Szerencsére éppen itt jön:

Most pedig térjünk a tárgyra.

A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.

Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:

A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.

Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.

Most pedig lássuk a területeket.

A keresett terület:


Egyszerűbb szorzatok integrálása

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk

Hát nem ez volt életünk legnehezebb integrálása.

És valószínűleg ez sem az lesz:

Itt az ideje, hogy lássunk valami érdekesebbet.


Törtek integrálása feldarabolással

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Ez a földarabolásos módszer általában akkor hasznos, ha a nevező egyetlen tagból áll, vagyis ha nincs a nevezőben összeadás.

De néha előfordulhat, hogy akkor is működik, ha van.

Vannak aztán egészen trükkös esetek is.

Na ennyit a feldarabolásról.


FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Paraméteres integrálás feladat

További integrálás feladatok

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim