Barion Pixel A számtani sorozat | mateking
 

Matek 12. osztály epizód tartalma:

Már mutatjuk is, hogy mik azok a számtani sorozatok, és szuper-érthető példákon keresztül megmutatjuk Neked a számtani sorozatok működését. Megnézzük a számtani sorozat definícióját, és az általános képletét is, na meg azt is, hogy mi az első tag és a differencia. Aztán jön a számtani sorozat összegképlete, és megoldunk néhány számtani sorozatos feladatot. A legegyszerűbb feladatokkal kezdjük, ahol rajzolgatással is ki lehet deríteni egy számtani sorozat differenciáját, aztán jönnek a nehezebb esetek, amikor már érdemes egyenletrendszert használni. A számtani sorozat összegképletére kétféle képletet is nézünk, a piti feladatokra és a nehezebbekre külön-külön.

A képsor tartalma

Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a számtani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány számtani sorozatos feladatot. Megnézzük a számatani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait.

Bob úgy dönt, hogy fejlesztenie kell egy kicsit a matektudását, ezért egy héten keresztül minden nap 5 perccel többet bambul a matekfüzete felett, mint előző nap.

Az első nap 20 percig bírta. Mennyi ideig matekozik Bob a hetedik napon?

Bob matekozással töltött ideje egy sorozat.

A sorozat első tagja 20.

A második tagja 5-tel több…

És mindegyik tagja 5-tel több, mint az előző.

Azokat a sorozatokat, ahol minden tag ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.

Azt a számot amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél, a sorozat differenciájának hívjuk.

Most éppen a differencia 5.

A számtani sorozat n-edik tagját pedig így kapjuk meg.

A hetedik napon Bob matekozással töltött ideje pedig:

Hogyha tudjuk, hogy mennyi egy számtani sorozat első tagja…
És azt is tudjuk, hogy mennyi a differencia…
Akkor ezzel a képlettel a sorozat bármelyik tagját ki tudjuk számolni.

Számtani sorozat általános tagjának képlete:

Most számoljuk ki azt is, hogy mennyi időt töltött Bob matekozással a 7 nap alatt összesen.

Ezt úgy fogjuk megkapni, hogy szépen összeadogatjuk a sorozat első hét tagját:
Amit így fogunk jelölni.

És itt jön rá egy jó kis képlet.

Próbáljuk is ki…

Ennyit matekozik Bob a hét nap alatt összesen.
És most nézzünk valami vidámabb témát.

Itt egy újabb képletre lesz szükség, amit a számtani sorozat összegképletének nevezünk.


Egy számtani sorozat ötödik tagja 23 és nyolcadik tagja 47. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája? Mekkora az első 10 tag összege?

Készítsünk egy rajzot.

Ez egy számtani sorozat, tehát minden tagja ugyanannyival nagyobb az előzőnél.

Ez pedig Bob.
De rá most nem lesz szükség.

Nézzük meg, hogy mennyivel nagyobb a nyolcadik tag az ötödik tagnál.
Ennyivel.


És ez éppen a differencia háromszorosa.
A differencia meg is van.

Most lássuk, mennyi a sorozat első tagja.
Azt tudjuk, hogy az ötödik tag 23…
És a képlet szerint…

A sorozat első tagját ezzel a képlettel tudjuk kiszámolni.
Írjuk fel, mondjuk az ötödik tagra.

És most lássuk, mennyi az első 10 tag összege.

Itt is van a képlet…

Hát, sajnos az a10-ről nem tudunk semmit.
De ki tudjuk számolni.

5 11 17 23 29 35 41 47 50 53 56


16

Kész is.

Az egyetlen gubanc ezzel az összegképlettel az, hogy külön ki kellett hozzá számolni az a10-et.

Úgyhogy itt jön most egy másik képlet is.

Próbáljuk is ki ezt az új képletet és számoljuk ki újra az első 10 tag összegét.

A két képlet közül az egyszerűbb feladatoknál bőven jó az első is.
De az izgalmasabb esetekben a második jobban használható.

Végül itt jön még egy számtani sorozat.
Ötödik tagja 16 és a huszonharmadik tagja 73. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája?

Most is készítünk egy ábrát…

Ez az ötödik tag…
És a huszonharmadik…

Hát, inkább mégse csináljunk ábrát.

Ez a rajzolgatós módszer olyankor még működik, ha néhány tagot kell csak fölrajzolni…

De itt már jobban járunk a képlettel.

Hát igen, ez itt egy egyenletrendszer.

De pánikra azért nincs ok.

Szinte észre sem vesszük, olyan könnyen meg fogjuk oldani.

Az alsó egyenletből kivonjuk a felső egyenletet.

Csodás, ez kész is.

BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez