Diszkrét matematika
- Kombinatorika
- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Matematikai logika, ítéletkalkulus
- Gráfelméleti alapok
- Gráfok izomorfiája és síkbarajzolhatósága
- Gráfok bejárása és gráfalgoritmusok
- Kromatikus szám, klikk, perfekt gráfok
- Gráfparaméterek, párosítások
- Hálózatok
- Irányított gráfok, gráfalgoritmusok irányított gráfokban
- Menger tételei, többszörös összefüggőség
- Páros gráfok, párosítások
- Teljes indukció
- Oszthatóság
- Euklideszi algoritmus & Diofantoszi egyenletek
- Kongruenciák
- Mátrixok
- Lineáris egyenletrendszerek
- Determinánsok
- Komplex számok
- Polinomok
- Interpolációs polinomok
- Csoportok, gyűrűk, testek
Kongruenciák
1. Bizonyítsuk be, hogy $a \equiv b \; \textrm{mod}\ m \Rightarrow a\cdot c \equiv b \cdot c \; \textrm{mod}\ m $
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Bizonyítsuk be, hogy $a\cdot c \equiv b\cdot c \; \textrm{mod}\ m \Rightarrow a \equiv b \; \textrm{mod}\ m $
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Mennyi $\varphi(7)$ ?
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Mennyi $\varphi(12)$, $\varphi(16)$ és $\varphi(100)$ ?
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Mi az utolsó két számjegye a $1789^{2046}$-nak?
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Mi az utolsó két számjegye az alábbi számnak?
\( 39^{49^{59}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Keressük azokat az $x$ egész számokat, amikre
a) \( 24x \equiv 13 \; \textrm{mod}\ 7\)
b) \( 13x \equiv 11 \; \textrm{mod}\ 120 \)
c) \( 13x \equiv 611 \; \textrm{mod}\ 120 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Keressük azokat az $x$ egész számokat, amikre
a) \( 59x \equiv 11 \; \textrm{mod}\ 120\)
b) \( 23x \equiv 63\; \textrm{mod}\ 43\)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Keressük azokat az $x$ egész számokat, amikre
a) \( 2x \equiv 14 \; \textrm{mod}\ 12 \)
b) \( 4x \equiv 36 \; \textrm{mod}\ 16\)
c) \( 14x \equiv 30 \; \textrm{mod}\ 18\)
d) \( 6x \equiv 10 \; \textrm{mod}\ 22\)
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Oldjuk meg az alábbi Diofantoszi egyenleteket.
a) \( 3x+4y=13 \)
b) \( 13x+36y=56 \)
c) \( 4x+6y=13 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Oldjuk meg az alábbi kongruencia rendszereket
a)
\( x \equiv 7 \; \textrm{mod}\ 12 \)
\( x \equiv 9 \; \textrm{mod}\ 10 \)
b)
\( 4x \equiv 3 \; \textrm{mod}\ 5\)
\( 5x \equiv 6 \; \textrm{mod}\ 7\)
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Milyen maradékot ad 66-tal osztva ez a szám?
\( 66^{63^{61}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
14.
a) Milyen maradékot ad 1023-mal osztva ez a szám?
\( 1025^{1005} \)
b) Milyen maradékot ad 65-tel osztva ez a szám?
\( 138^{139} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Mi lesz az utolsó két számjegye ennek az alábbi számoknak?
a) \( 303^{404} \)
b) \( 33^{21^{34}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Mi lesz az utolsó két számjegye ennek az alábbi számoknak?
a) \( 159^{161} \)
b) \( 49^{49^{50}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
17. Oldjuk meg az alábbi lineáris kongruenciákat.
a) \( 8x \equiv 30 \; \textrm{mod}\ 28\)
b) \( 2x \equiv 7\; \textrm{mod}\ 33\)
c) \( 47x \equiv 1\; \textrm{mod}\ 53\)
d) \( 9x \equiv 1\; \textrm{mod}\ 88\)
e) \( 8x \equiv 29\; \textrm{mod}\ 27\)
f) \( 32x \equiv 7\; \textrm{mod}\ 47\)
Megnézem, hogyan kell megoldani
18.
a) Egy $n$ egész szám 115-szöröse 110-zel nagyobb maradékot ad 344-gyel osztva, mint maga az $n$ szám. Milyen maradékot adhat $n$ 344-gyel osztva?
b) Az $n$ pozitív egész számra $43n-1$ utolsó két számjegye megegyezik $2n+2$ utolsó két számjegyével. Mi ez a két számjegy?
Megnézem, hogyan kell megoldani
19. Mely egész számokra teljesül, hogy 7-tel osztva 2, 9-cel osztva 3 maradékot adnak?
