Csoportok, gyűrűk, testek

1. Vegyünk egy szabályos hatszöget, és vegyük a középpontja körüli forgatásokat amelyek a hatszöget önmagába forgatják. Bizonyítsuk be, hogy ez egy csoportot alkot a forgatások egymás után elvgézése, mint műveletre.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Vegyük a mod12 maradékosztályokat az összeadás művelettel. Mennyi az egyes elemek rendje? Ciklikus-e a csoport?

b) Csoportot alkotnak-e a mod4 maradékosztályok a szorzás művelettel?

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. 

a) Csoportot alkotnak-e a mod4 maradékosztályok az összeadás művelettel?

b) A mod12 maradékosztályok gyűrűjében van-e nullosztó?

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Mit tudnak a (2x2)-es mátrixok, ha a művelet az összeadás és a szorzás?

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Van-e olyan ideál, ami nem főideál?

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Igaz-e, hogy $5+4i | 7+22i$ ?

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Mi a Gauss egészek gyűrűjében az egység?

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Készítsük el a mod5 maradékosztályok gyűrűjének műveleti táblázatait.

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Rendezhető testet alkotnak-e a komplex számok?

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Rendezhető testet alkotnak-e a mod5 maradékosztályok?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mi az a csoport, mik a csoportműveletek, hogyan lehet egy algebrai struktúráról eldönteni, hogy csoport-e vagy sem. Rengeteg példát nézünk csoportokra, megnézzük, hogy mi az a félcsoport, és azt is, hogy mit kell tudni egy félcsoportnak. Mik azok a ciklikus csoportok? Hogyan kell kiszámolni egy elem rendjét? Példák ciklikus csoportokra, véges csoportokra, nullosztókra. Csoportelméleti érdekességek. Kiderül, hogy a csoportelmélet valójában nem is olyan rémes. Megnézzük, mik azok a gyűrűk, hogyan épülnek föl és miket kell tudniuk. Nagyon tudományosan, ha egy halmaz Abel-csoportot alkot az összeadás művelettel és félcsoportot a szorzás művelettel, akkor egy gyűrűt kapunk. De nem akarunk nagyon tudományosak lenni, ezért inkább sok-sok könnyn érthető példát nézünk. Majd pedig mindent megtudhatsz a gyűrűkről hihetetlenül egyszerű példákon keresztül. Megnézzük a mátrixok gyűrűjét, keresünk benne nullosztókat, megnézzük mit jelent a bal oldali nullosztó és a jobb oldali nullosztó. Egységelemes gyűrűk, példák nem egységelemes gyűrűre, kommutatív gyűrűk, nem kommutatív gyűrűk, nullosztómentes gyűrűk, integritási tartomány. Mit jelent az, hogy ideál? Példák ideálra, jobb ideál, bal ideál, különböző ideálok és részgyűrűk. Speciáis ideálok. Mi az a főideál? És mi az, hogy főideálgyűrű? Szuper-érthető példákon keresztül elmeséljük ezt is, mint minden más algebrai struktúrát. Kezdjük is a kalandozást a gyűrűk, csoportok, ideálok világában. Ezek után nézzük, mik azok a Gauss egészek. A Gauss egészek egy gyűrűt alkotnak, egy olyan egységelemes és nullosztómentes gyűrűt, amiben vannak prímek, igaz a számelmélet alaptétele és működik az Euklideszi algoritmus. A Gauss prímek megtalálásához megnézzük mi az a Két-négyzetszám-tétel és mit jelent az asszociált fogalma. A Gauss egészek gyűrűje tehát egy Euklideszi gyűrű. Mik azok az Euklideszi gyűrűk, főideálgyűrűk és alaptételes gyűrűk? Majd könnyedén megtanulhatod, hogy mik azok az algebrai testek. Nézünk sok-sok példát is testekre, a modulo p maradékosztályok, a komplex számok, a valós számok vagy éppen a racionális számok is testet alkotnak. Megtanuljuk, hogy a valós számok egy testet alkotnak. Teljesül rájuk a 9 darab test axióma, sőt még ennél sokkal több is. Megnézzük mit jelent a rendezés reláció, mik azok a rendezési axiómák, melyek a rendezhető és melyek a nem rendezhető testek. A komplex számtest nem rendezhető test. A valós számok és a racionális számok rendezhető test. Trichotómia, tranzitivitás és egyéb izgalmak. Végül pedig megmutatjuk, hogy mi az Arkhimédészi-axióma és mire jó tulajdonképpen. A valós számok axiómarendszerének 14-ik axiómája és azt is, hogy mi az a Cantor-axióma és mire jó tulajdonképpen. A valós számok axiómarendszerének 15-ik axiómája.



Csoport, félcsoport

Ciklikus csoportok, elem rendje

A gyűrű

Gyűrű, nullusztó, egységelemes gyűrű, integritási tartomány

Az ideál

Főideál, főideálgyűrű

A Gauss egészek gyűrűje

Euklideszi gyűrű, Főideálgyűrű

Algebrai testek

A valós számtest

A Cantor-axióma

Arkhimédészi-axióma