Csoportok, gyűrűk, testek

Azokat a nem üres halmazokat, amelyekben értelmezve van egy művelet, és ez a művelet asszociatív, létezik benne egységelem, és minden elemnek létezik benne inverze, csoportnak nevezzük.

A kommutatív csoportokat Abel-csoportnak nevezzük.

Azt az elemet, amely a művelet elvégzése során mindenkit változatlanul hagy, egységelemnek nevezzük.

Egy elem akkor lesz inverz, ha azt tudja, hogy a művelet elvégzése során az eredeti elemből egységelemet csinál.

Például ha vesszük az 5-öt és a szorzás műveletet, akkor az 5-nek a szorzás műveletre vett inverze az $\frac{1}{5}$, mert $5 \cdot \frac{1}{5} = 1 $, vagy ha vesszük a 2-öt és az összeadás műveletet, akkor a 2-nek az összeadás műveletre vett inverze a $-2$, mert $2+(-2)=0$.

Ha egy csoportban az elemeknek nincs inverze, és nincs egységelem sem, akkor félcsoportnak nevezzük.

Egy csoportot ciklikus csoportnak nevezünk, ha előáll egyetlen elemének egész kitevős hatványaiból.

Egy elem rendje azt a legkisebb pozitív egész kitevőt jelenti, amelyre emelve az egységelemeket kapjuk.

A rend jele: \( \sigma \) (ordó)

Egy nem üres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha értelmezve van benne egy összeadás és egy szorzás művelet.

Az összeadásnak azt kell tudnia, hogy asszociatív és kommutatív.

\( (a+b)+c = a+(b+c) \)

\( a+b = b+a \)

Van egységelem. Az összeadás egységelemét nullelemnek hívjuk.

Minden elemnek van inverze, amit ellentettnek hívunk.

A szorzásnak pedig mindössze annyit kell tudnia, hogy asszociatív.

\( (ab)c = a(bc) \)

A két művelet pedig egymásra nézve disztributív:

\( a(b+c) = ab+ac \)

\( (a+b)c = ac+bc \)

Példák gyűrűre: egész számok, $(n\times n)$-es mátrixok, $\textrm{mod}\ m$ maradékosztályok

A kommutatív nullosztómentes gyűrűket nevezzük integritási tartománynak.

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmazt ideálnak nevezzük, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és minden $r \in R$ és $i \in I$ elemre $r\cdot i \in I$

És mivel a szorzás nem feltétlenül kommutatív, léteznek bal és jobb ideálok.

Bal ideál:

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmaz bal ideál, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és $\forall r \in R$ és $i \in I$ elemre $r\cdot i \in I$

Jobb ideál:

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmaz jobb ideál, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és $\forall r \in R$ és $i \in I$ elemre $i\cdot r \in I$

Az egy elem által generált ideált főideálnak nevezzük.

Azokat a gyűrűket, amelyben minden ideál főideál, úgy hívjuk, hogy főideálgyűrű.

Használatos rájuk a PIR rövidítés is (Principal Ideal Ring).

Azokat a komplex számokat, ahol $a$ és $b$ egész szám Gauss egésznek nevezzük.

\( z = a + b\cdot i \)

A komplex számok abszolútértékének mintájára bevezetünk egy fogalmat, amit normának hívunk:

\( N(z) = \mid z \mid^2 = a^2 + b^2 \)

Ha $z_1$ és $z_2$ Gauss egészek, akkor

\( z_1 \mid z_2  \Rightarrow N(z_1) \mid N(z_2) \)

Az állítás megfordítása nem igaz:

\( N(z_1) \mid N(z_2) \not\Rightarrow z_1 \mid z_2 \)

A Gauss egészek gyűrűt alkotnak az összedás és szorzás műveletekkel.

A Gauss egészek tudják az oszthatóságot is, egy Gauss egész akkor oszt egy másikat, ha az osztás eredménye is Gauss egész.

A Gauss egészek körében négy darab egység van: $1, -1, i, -i$

A Gauss egészek gyűrűjében prímek azok a $p_1$ és $p_2$ Gauss egészek, amelyek szorzata $4k+1$ alakú prím:

\( p_1 \cdot p_2 = p \)

Az $n$ szám akkor és csak akkor áll elő két négyzetszám összegeként

\( n=x^2 + y^2 \)

ha kanonikus alakjában

\( n= 2^{\gamma} \cdot p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots q_1^{\beta_1} q_2^{\beta_2} \dots \qquad p_i = 4k-1 \quad q_i=4k+1 \)

minden $4k-1$ alakú prím kitevője páros.

Azokat a gyűrűket, amikben működik az Euklideszi algoritmus úgy hívjuk, hogy Euklideszi gyűrű.

Minden Euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű.

Euklideszi gyűrű például az egész számok gyűrűje, vagy éppen a Gauss egészek gyűrűje.

Azokat a gyűrűket, melyeknek van additív inverze, és a 0-tól eltekintve minden elemének van multiplikatív inverze is, testnek nevezzük.

9 test-axióma van, ezek:

1. Az összeadás asszociatív

2. Az összeadás kommutatív

3. Létezik nullelem az összeadás műveletben

4. Minden elemnek van additív inverze

5. A szorzás asszociatív

6. A szorzás kommutatív

7. Létezik egységelem a szorzás műveletben

8. Minden elemnek van multiplikatív inverze, kivéve a nullelemet

9. Az összeadás és szorzás művelet disztributív

A rendezés reláció négy fontos tulajdonságát rendezési axiómának nevezzük.

1. Trichotómia: Bármely $a$ és $b$ valós számra, az $a<b$, az $a=b$ és az $a>b$ állítások közül pontosan egy igaz.

2. Tranzitivitás: Bármely $a, b$ és $c$ valós számra, ha $a<b$ és $b<c$ akkor $a<c$.

3. Bármely $a, b$ és $c$ valós számra ha $a<b$ akkor $a+c<b+c$.

4. Bármely $a, b$ és $c>0$ valós számra, ha $a<b$ akkor $ac<bc$.

Minden számnál van nagyobb természetes szám. Ezt az állítást Arkhimédészi-axiómaként szokás emlegetni.

\( \forall x \in R \quad \exists n \in N \quad n>x \)

Az Arkhimédészi-axióma átfogalmazható úgy is, hogy bármely $a$ és $b$ pozitív számokra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy $an>b$

Sőt, átfogalmazható így is:

Bármely $a$ és $b$ pozitív számokra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy $\frac{a}{b} > \frac{1}{n} $

Ez pedig azt jelenti, hogy bármely pozitív számra létezik olyan $n$ természetes szám, hogy az $\frac{1}{n}$ kisebb ennél a számnál.

A Cantor-axióma azt mondja, hogy egymásba skatulyázott zárt intervallumok végtelen sorozatának metszete nem üres.

Ha $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ és $b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_n$ akkor $\exists x \in R$

\( x \in \bigcap_{i=1}^{\infty} [a_i, b_i] \)