Azokat a komplex számokat, ahol $a$ és $b$ egész szám Gauss egésznek nevezzük.

\( z = a + b\cdot i \)

A komplex számok abszolútértékének mintájára bevezetünk egy fogalmat, amit normának hívunk:

\( N(z) = \mid z \mid^2 = a^2 + b^2 \)

Ha $z_1$ és $z_2$ Gauss egészek, akkor

\( z_1 \mid z_2  \Rightarrow N(z_1) \mid N(z_2) \)

Az állítás megfordítása nem igaz:

\( N(z_1) \mid N(z_2) \not\Rightarrow z_1 \mid z_2 \)

A Gauss egészek gyűrűt alkotnak az összedás és szorzás műveletekkel.

A Gauss egészek tudják az oszthatóságot is, egy Gauss egész akkor oszt egy másikat, ha az osztás eredménye is Gauss egész.

A Gauss egészek körében négy darab egység van: $1, -1, i, -i$

A Gauss egészek gyűrűjében prímek azok a $p_1$ és $p_2$ Gauss egészek, amelyek szorzata $4k+1$ alakú prím:

\( p_1 \cdot p_2 = p \)

Az $n$ szám akkor és csak akkor áll elő két négyzetszám összegeként

\( n=x^2 + y^2 \)

ha kanonikus alakjában

\( n= 2^{\gamma} \cdot p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots q_1^{\beta_1} q_2^{\beta_2} \dots \qquad p_i = 4k-1 \quad q_i=4k+1 \)

minden $4k-1$ alakú prím kitevője páros.