Interpolációs polinomok

1. 

a) Adjuk meg azt a polinomot, ami 1-ben 3-at vesz föl, 2-ben 5-öt és 4-ben 1-et.

b) Adjuk meg azt a polinomot, ami 1-ben 4-et, 2-ben 3-at és 4-ben 2-t vesz fel.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Gyártsunk egy olyan polinom-függvényt, ami 1-ben 3-at, 2-ben 6-ot, 4-ben 2-t és 5-ben 4-et vesz föl.

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Gyártsunk egy olyan polinom-függvényt, ami 1-ben 3-at, 2-ben 6-ot, 4-ben 2-t és 5-ben 4-et vesz föl, a Newton interpoláció segítségével.

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Gyártsunk egy olyan polinom-függvényt, ami a következőket tudja:

\( x_1 = 1 \quad f(1)=2 \quad f'(1)=7 \quad f''(1)=36 \)

\( x_2=2 \quad f(2)=52 \quad f'(2)=127 \)

\( x_3=0 \quad f'(0)=-1 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt mindet megtudhatsz az interpolációs polinomokról. Megnézzük, hogy mire jó az interpoláció és hogyan kell legyártani az interpolációs polinomokat. Szuper-érthetően elmeséljük neked, hogy mi az a Lagrange-féle interpolációs polinom és mire lehet használni. Az interpolációs polinomok közül ez a legegyszerűbb és a leggyakoribb. Megnézzük a Lagrange interoláció képletét és nézünk rá példákat. Röviden és érhetően megnézheted, hogy mi az a Newton interpoláció és mire lehet használni. Az interpolációs polinomok közül ez a második legnépszerűbb. A Newton interpoláció képlete és példák Newton interpolációra. Végül pedig jön egy újabb módszer interpolációs polinomok gyártására, amit Hermite interpolációnak hívunk. Ez abban különbözik az előzőktől, hogy nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjainak értékeit is nézzük.



Lagrange-féle interpolációs polinom
Egy olyan polinomot fogunk gyártani, ami előre megadott pontokon megy át. Ezeket a polinomokat interpolációs polinomnak nevezzük. Interpolációs polinomból többféle is van. Az egyik legegyszerűbb a Lagrange-féle interpolációs polinom. Szintén könnyen használható és elterjedt a Newton-interpoláció és a Hermite-interpoláció is. Mindegyikre fogunk nézni egy-egy példát. Íme, itt vannak a pontok. Vagy épp ezek. Vagy ezek. A dolog lényege, hogy bárhol lehetnek, és bármennyi. Minél több pontunk van, a polinom fokszáma annál nagyobb lesz. Kezdetnek most elég ez a három. Azt a polinom-függvényt fogjuk megalkotni, ami 1-ben 3-at vesz föl… 2-ben 5-öt… és 4-ben 1-et. Először egy olyan polinomot fogunk gyártani, ami 1-ben 3-at vesz föl és a másik két helyen nullát. Ehhez mindössze annyit kell megértenünk, hogy ez a polinom: Itt nulla. Meg itt… Meg itt, meg itt. És, ha azt szeretnénk, hogy még 6-ban is nulla legyen… Hát, éppen arról is lehet beszélni. Az a polinom-függvény, ami 1-ben 3-at vesz föl és a másik két helyen nullát, valahogy így fog kinézni. De sajnos van egy kis gond. Ha behelyettesítjük az 1-et… akkor nem jön ki a 3. Eddig jó. Most gyártani fogunk egy másik polinom-függvényt, ami 1-ben és 4-ben nulla… De ha 2-t helyettesítünk bele, akkor van egy kis gond. Nem az jön ki, ami nekünk kéne. Ezt a kis problémát így tudjuk megoldani. Ha most ebbe helyettesítjük be a 2-t… Nem túl meglepő módon az jön ki, hogy 1. Mondjuk, jobb lenne, ha az jönne ki, hogy 5. Hát, ezen könnyen lehet segíteni. Ezzel megalkottuk azt a polinom-függvényt, ami 1-ben és 4-ben nullát vesz föl, 2-ben pedig a függvényérték 5. És végül itt jön az a polinom-függvény, ami 1-ben és 2-ben nulla, 4-ben pedig 1-et vesz föl. Eddig ott járunk, hogy 1-ben és 2-ben nulla. De 4-ben sajnos… Hát nem baj, akkor jön megint az előző trükk. És ha most helyettesítjük be a 4-et… Akkor már az jön ki, hogy 1. És az pont jó is. Nézzük, mi történik, ha ezt a három polinomot összeadjuk. Az így kapott polinom éppen azt tudja, amit kell. 1-ben 3-at vesz föl, 2-ben 5-öt, és 4-ben 1-et. Lássunk még egy ilyet. Gyártsunk egy olyan polinom-függvényt, ami 1-ben 4-et, 2-ben 3-at és 4-ben 2-t vesz föl. Az első polinom a másik két helyen nulla… ha pedig x1-et helyettesítjük be, akkor 4-et kall kapnunk. Az második polinom is a másik két helyen nulla… és x2-ben 3-at kell kapnunk. Végül itt jön a harmadik polinom. Az első két helyen nullát vesz föl… ha 4-et helyettesítünk bele, akkor pedig 2-t. Az interpolációs polinomok világában ez a módszer az egyik legegyszerűbb. És úgy hívják, hogy Lagrange-féle interpolációs polinom. Most pedig lássuk, mi történik akkor, ha nem három, hanem négy pont van. Gyártsunk egy olyan polinom-függvényt, ami 1-ben 3-at, 2-ben 6-ot, 4-ben 2-t és 5-ben 4-et vesz föl. Először egy olyan polinomot fogunk gyártani, ami a másik három helyen nulla… és 1-ben pedig 3-at vesz föl. Aztán itt jön ez, ami 2-ben 6-ot vesz föl, a másik három helyen pedig nullát. Végül még kellenek nekünk ezek is. Azt a polinomot, amely x1-ben y1-et, x2-ben y2-t és így tovább xn-ben yn értéket vesz föl általánosan így tudjuk legyártani: Ennek a polinomnak a fokszáma n-1 és Lagrange-féle interpolációs polinomnak nevezzük. A képlet így első ránézésre megjegyezhetetlennek tűnik… de azért van remény. Itt az első tagban pont az x1-es tényező hiányzik. Ez a fura jel itt azt jelenti, hogy produktum, vagyis össze kell szorozni. Az n-edik tagban pedig az xn-es tényezők hiányoznak. Na, és ezek vannak összeadva 1-től n-ig. Hát ez csodás. De ami még ennél is csodálatosabb, hogy nem csak Lagrange-féle interpolációs polinomok léteznek.
Mi az interpoláció?
Most egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni. Egy olyan polinomot fogunk gyártani, ami előre megadott pontokon megy át. Ezeket a polinomokat interpolációs polinomnak nevezzük. Íme, itt vannak a pontok. Vagy épp ezek. Vagy ezek. A dolog lényege, hogy bárhol lehetnek, és bármennyi. Minél több pontunk van, a polinom fokszáma annál nagyobb lesz. Kezdetnek most elég ez a három. Azt a polinom-függvényt fogjuk megalkotni, ami 1-ben 3-at vesz föl… 2-ben 5-öt… és 4-ben 1-et. Először egy olyan polinomot fogunk gyártani, ami 1-ben 3-at vesz föl és a másik két helyen nullát. Ehhez mindössze annyit kell megértenünk, hogy ez a polinom: Itt nulla. Meg itt… Meg itt, meg itt. És, ha azt szeretnénk, hogy még 6-ban is nulla legyen… Hát, éppen arról is lehet beszélni. Az a polinom-függvény, ami 1-ben 3-at vesz föl és a másik két helyen nullát, valahogy így fog kinézni. De sajnos van egy kis gond. Ha behelyettesítjük az 1-et… akkor nem jön ki a 3. Eddig jó. Most gyártani fogunk egy másik polinom-függvényt, ami 1-ben és 4-ben nulla… De ha 2-t helyettesítünk bele, akkor van egy kis gond. Nem az jön ki, ami nekünk kéne. Ezt a kis problémát így tudjuk megoldani. Ha most ebbe helyettesítjük be a 2-t… Nem túl meglepő módon az jön ki, hogy 1. Mondjuk, jobb lenne, ha az jönne ki, hogy 5. Hát, ezen könnyen lehet segíteni. Ezzel megalkottuk azt a polinom-függvényt, ami 1-ben és 4-ben nullát vesz föl, 2-ben pedig a függvényérték 5. És végül itt jön az a polinom-függvény, ami 1-ben és 2-ben nulla, 4-ben pedig 1-et vesz föl. Eddig ott járunk, hogy 1-ben és 2-ben nulla. De 4-ben sajnos… Hát nem baj, akkor jön megint az előző trükk. És ha most helyettesítjük be a 4-et… Akkor már az jön ki, hogy 1. És az pont jó is. Nézzük, mi történik, ha ezt a három polinomot összeadjuk. Az így kapott polinom éppen azt tudja, amit kell. 1-ben 3-at vesz föl, 2-ben 5-öt, és 4-ben 1-et. Lássunk még egy ilyet. Gyártsunk egy olyan polinom-függvényt, ami 1-ben 4-et, 2-ben 3-at és 4-ben 2-t vesz föl. Az első polinom a másik két helyen nulla… ha pedig x1-et helyettesítjük be, akkor 4-et kall kapnunk. Az második polinom is a másik két helyen nulla… és x2-ben 3-at kell kapnunk. Végül itt jön a harmadik polinom. Az első két helyen nullát vesz föl… ha 4-et helyettesítünk bele, akkor pedig 2-t. Az interpolációs polinomok világában ez a módszer az egyik legegyszerűbb. És úgy hívják, hogy Lagrange-féle interpolációs polinom. Most pedig lássuk, mi történik akkor, ha nem három, hanem négy pont van.
Newton interpoláció

Gyártsunk egy olyan polinom-függvényt, ami 1-ben 3-at, 2-ben 6-ot, 4-ben 2-t és 5-ben 4-et vesz föl. Itt jön most egy másik módszer, ami első ránézésre bonyolultabbnak tűnik, mint a Lagrange-polinom... De második ránézésre kiderül, hogy könnyebb. Ezt a módszert Newton-interpolációnak hívják és a lényege a következő. Elkészítjük ezeket a Newton-együtthatókat. És most már csak ezekre lesz szükség. Ez a polinom pontosan megegyezik a Lagrange interpolációval keletkező polinommal. Viszont megvan az a kellemes tulajdonsága, hogy könnyebb összevonni. Hát ezt tudja a Newton-interpoláció.


Hermite interpoláció

Itt jön egy újabb módszer interpolációs polinomok gyártására. Ez a módszer abban különbözik az előző kettőtől, hogy az x1, x2, xn helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.

Gyártsunk például egy olyan f(x) polinom-függvényt, ami a következőket tudja:

A keresett polinom-függvény ötödfokú lesz.

Azért, mert hat interpolációs pont van megadva és a polinom fokszáma mindig eggyel kisebb, mint az interpolációs pontok száma.

Ezt a nagyon remek egyenletrendszert kell már csak megoldanunk, és kész is.

Az ilyen egyenletrendszereket megoldani rémesen unalmas.

Ezzel foglalkozik a lineáris algebra.

Megoldhatjuk például Gauss eliminációval, vagy elemi bázistranszformációval is.

És a megoldás…

Hát ezt tudja a csodálatos Hermite interpoláció.