Diszkrét matematika epizód tartalma:
A komplex számok trigonometrikus alakja nagyon hasznos ha szorozni, osztani vagy hatványozni akarunk komplex számokat. Nézzük meg, hogyan jön ki egy koplex szám trigonometrikus alakja. | A trigonometrikus alak, Komplex számok hatványozása, Komplex számok szorzása trigonometrikus alakban, Komplex számok osztása trigonometrikus alakban, Komplex számok abszolútértéke. |
Van egy nagy probléma a komplex számok algebrai alakjával. Mégpedig az, hogy szinte lehetetlen hatványozni őket.
Próbáljuk csak meg kiszámolni, hogy mennyi
Nos ennyi.
De hát ez csak valami rossz vicc lehet…
Kell, hogy legyen valami egyszerű módszer a komplex számok hatványozására.
Ez itt a komplex számok szokásos algebrai alakja,
és most lecseréljük egy trigonometrikus alakra.
A fő gondolata ennek a trigonometrikus alaknak az, hogy a komplex számokat két új jellemző segítségével írja le, az egyik az abszolútérték, a másik a szög.
Az abszolútértéket r-el fogjuk jelölni,
a szöget pedig... nos hát a szöget pedig thétával. Íme itt is van:
A trigonometrikus alak meglepően egyszerűvé teszi a komplex számok szorzását,
és osztását.
Most pedig térjünk vissza a hatványozás kérdéséhez.
Szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi .
Itt jön a trigonometrikus alak.
És most elkezdjük hatványozni.
Az n-edik hatványt úgy kapjuk, hogy r-et n-edikre emeljük, a szöget pedig n-nel szorozzuk:
Így aztán
amit, ha kedvünk van, visszaírhatunk algebrai alakba.
És most próbáljuk meg kiszámolni ezt:
Lássuk először a trigonometrikus alakokat.
De van itt egy kis gubanc.
Ennek az egyenletnek, hogy
van egy másik megoldása is.
Azt, hogy a kettő közül melyikre van szükségünk, eldönthetjük pénzfeldobással is,
de jobb ha inkább készítünk egy ábrát.
Nos, a jelek szerint a negatív kell.
És most jöhet a szorzás.
Diszkrét matematika epizód.