Analízis 3 epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogyan működik az ismétléses permutáció és az ismétléses variáció. Az ismétléses permutáció szemléletes jelentése az, hogy a permutáni kívánt elemek között vannak egyformák. Hogyha például öt darab számkártya segítségével számokat alkotunk, nem mindegy, hogy mindegyik számkártyán különböző szám szerepel-e vagy sem. Abban az esetben, ha mondjuk mind az öt számkártyán 1-es van, akkor például mindössze egyetlen számot tudunk alkotni, a 11111-et. Ha mind az öt szám különböző, akkor pedig sima permutációval van dolgunk, és 5! vagyis 120 darab lehetőség van. Ha a tehát vannak a számkártyák közt egyformák, akkor kapunk ismétléses permutációt. Nézünk is néhány feladatot ismétléses permutációval és meg is oldjuk őket lépésről lépésre. Ezek után azt is megnézzük, hogy mit jelent az ismétléses variáció. Ez egy picit máshogy működik, és tipikus példa rá, amikor mondjuk az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből alkotunk háromjegyű számokat úgy, hogy bármelyik számjegyet akárhányszor fel lehet használni. Vagyis a számjegyek ismétlődhetnek, és ezért ismétléses a variáció.
Még mindig a középiskolai matek felelevenítésével foglalkozunk, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást és kombinatorikát. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Tíztagú társaság raftingolni indul egy ötszemélyes egy háromszemélyes és egy kétszemélyes csónakkal.
Hányféleképpen ülhetnek a csónakokba, ha a csónakokon belül a helyek között nem teszünk különbséget?
Mi a helyzet akkor, ha két adott ember egy csónakba akar kerülni?
Ilyenkor az szokott lenni, hogy egynek vesszük őket…
Így aztán 9 elemet kell elhelyezni.
Csak hát az a baj, hogy ha ezt az 5 elemet választjuk…
akkor az hat ember és nem férnek el.
Hát jó, akkor válasszunk csak 4-et, hogy biztosan beférjenek.
Csak hát az a baj, hogy ha ezt a 4 elemet választjuk…
akkor az tényleg csak 4 ember, vagyis marad egy üres hely.
Úgy tűnik sehogyan sem akar ez kijönni.
A problémát az okozza, hogy két embert egynek vettünk.
Az „egynek vesszük” elv tökéletesen jól működik olyankor, amikor csak sorba akarjuk rakni az elemeket.
De nem működik olyankor, amikor kiválasztunk.
Ilyenkor esetekre kell bontani.
Hány olyan szám keletkezik, amelyben két páros és két práratlan számjegy szerepel?
Először kiválasztjuk a számjegyeket…
aztán sorba rakjuk.
Hány olyan szám készíthető amiben szerepel a 9-es számjegy?
Az előző módszer itt is működik.
Egy másik jó ötlet, hogy vesszük az összes esetet…
és levonjuk belőle azokat amikor nincs 9-es.