Középiskolai matek epizód tartalma:

Mik azok a logikai műveletek? Lépésről lépésre megnézzük, hogyan működik a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció. Kiderül mit jelent az ekvivalencia és a negáció. Logikai műveletek igazságtáblázata.

A képsor tartalma

Próbáljuk meg eldönteni, hogy vajon igaz vagy hamis a következő állítás:

Esik az eső és a mamut piros.

Hát, eléggé hamisnak tűnik.

gy néz ki egyáltalán nem.

A mondat első fele sem igaz…

és a másik fele sem.

Ha mondjuk az eső legalább esne…

Az állítás ettől továbbra is hamis maradna.

Egyetlen egy esetben lenne igaz…

Ha mindkét fele igaz.

Készítsünk ebből egy kis táblázatot.

igaz

hamis

Végülis a mamutokra és az esőre nincs is szükség.

Az „és”-re pedig bevezetünk egy jelölést.

Itt jön aztán egy másik állítás:

Esik az eső vagy a mamut piros.

Készítsünk erről is egy táblázatot.

Hogyha mindkét rész hamis…

akkor az egész állítás is hamis.

Ha a két rész közül valamelyik igaz…

akkor az egész állítás is igaz.

Hogyha pedig mindkét rész igaz…

Ilyen esetekben az emberek hétköznapi logikája nem nagyon tudja értelmezni a „vagy” szócskát.

A matematika viszont igen, és az állítás ebben az esetben is igaz.

A „vagy”-ra is létezik egy matematikai jelölés…

Éppen itt is van.

Egy ősi népi megfigyelés szerint:

Ha esik az eső, akkor a mamut piros.

Nézzük, mikor lesz ez az állítás igaz.

Nos, olyankor, amikor süt a nap…

teljesen mindegy, hogy milyen színű a mamut.

Hiszen csak olyankor kell pirosnak lennie, ha esik.

Ezt az állítást matematikailag így jelöljük:

Olyankor, amikor a kiinduló feltevés hamis, már bármi történhet…

Maga az állítás igaz lesz.

És olyankor is igaz lesz, ha mindkét rész igaz.

Egyetlen egy esetben lesz az állítás hamis.

Amikor esik az eső, de a mamut mégsem piros.

Ezek itt valójában ugyanolyan műveletek, mint az algebrában az összeadás vagy a szorzás.

És ugyanúgy nevük is van.

KONJUNKCIÓ

DISZJUNKCIÓ

IMPLIKÁCIÓ

Vannak aztán még további műveletek is.

Az egyik az ekvivalencia.

Az ekvivalencia jeléből is látszik, hogy ez egy olyan művelet, amikor

Tehát A-ból következik B és B-ből is következik A.

A dolog valójában még ennél is egyszerűbb, az egész azt jelenti, hogy A pontosan akkor igaz, amikor B.

Ezek a műveletek mind kétváltozós műveletek, vagyis kell hozzá egy A és egy B is.

Itt jön aztán egy olyan logikai művelet is, ami egyváltozós.

Ez a művelet a tagadás, vagyis a „nem A”.

Olyan, mint az algebrában az ellentett…

A művelet neve negáció.

Jók ezek a táblázatok, csak hát rémesen sok helyet foglalnak.

Kénytelenek leszünk egy kicsit egyszerűsíteni őket:

Na, így már sokkal jobb.

Most nézzünk egy izgalmas feladványt, ami azt tesztelte, hogy a hétköznapi emberek mennyire fogékonyak a matematikai logika iránt.

A teszt során az derült ki, hogy nem különösebben…

De lássuk a feladványt.

Van itt ez a négy darab kártya. Az egyik oldalán mindegyiknek egy szám áll, a másik oldalon pedig egy betű.

És van itt ez az állítás:

Ha a kártya egyik oldalán magánhangzó van, akkor a másik oldalán páros szám áll.

A kérdés az, legfeljebb hány kártyát kell megfordítanunk ahhoz, hogy kiderüljön igaz-e az állítás?

A tipikus rossz válaszokat bárki megtudhatja, hogyha elmondja ezt a kis feladványt ismerőseinek…

És most lássuk a jó választ.

Ez az állítás tulajdonképpen mindig igaz, kivéve egyetlen esetben.

Egyedül az okozza a bajt, amikor A igaz, de B hamis.

Ez megtörténhet itt, ha a túloldalon páratlan szám van…

És itt, ha a másik oldalon magánhangzó van.

A többi esetben vagy eleve A hamis, és akkor már mindegy…

vagy B igaz és akkor is mindegy.

Ezt a két kártyát kell tehát megfordítani.

Itt jön néhány állítás, és fogalmazzuk meg ezek tagadását.

Az ég kék és a fű zöld.

Az állítás tagadásának a táblázata úgy kell, hogy kinézzen…

hogy itt mindenhol 0 helyett 1 és 1 helyett pedig 0 van.

Hát, ilyen éppen van…

Csak A-t és B-t is tagadni kellene.

Ha esetleg elsőre ez kicsit zavarosnak tűnik, az teljesen normális...

Nézzük meg szépen lépésről lépésre, és minden ki fog derülni.

Az állítás tagadásában tehát „vagy”-nak kell lennie…

És úgy fog stimmelni a táblázat, ha külön-külön A-t és B-t is tagadjuk.

Valahogy így:

Az ég nem kék vagy a fű nem zöld.

Lássuk a táblázatot.

Úgy tűnik ez meg is van.

A táblázat utolsó oszlopában minden épp a fordítottja lett annak, ami eredetileg volt.

Ez tehát valóban az eredeti állítás tagadása.

Végül nézzünk meg még egyet.

Ha az ég kék, akkor a fű zöld.

Megint megnézzük a táblázatot…

és keresünk egy ezzel ellentéteset.

Ami itt 0 volt…

az ebben 1.

Most hasonlítsuk össze ezt a két sort.

Csak a B-nél van változás, így most csak a B-t kell tagadni.

Az eredeti állítás tagadásában tehát „és” fog szerepelni és .

Az ég kék és a fű nem zöld.

Az utolsó oszlop épp a fordítottja annak, mint ami eredetileg volt.

Ez tehát az állítás tagadása.

 

Konjunkció, diszjunkció, implikáció (emelt szint)

04
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Mik azok a logikai műveletek? Lépésről lépésre megnézzük, hogyan működik a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció. Kiderül mit jelent az ekvivalencia és a negáció. Logikai műveletek igazságtáblázata.

Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?
Ugrás az
összeshez