Barion Pixel Mi a függvényhatárérték? | mateking
 

A függvények határértéke egy nagyon fontos fogalom a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. Függvények helyettesítési értéke, Függvények határértéke, A folytonosság, A határérték kiszámolása, Függvényérték, Határérték, Függvényhatárérték, Folytonos függvények határértéke, Nem folytonos függvények határértéke.

A képsor tartalma

Beszéljünk a határértékekről.

Van itt egy ártalmatlan függvény

amit kicsit izgalmasabbá teszünk ezzel a feltétellel.

Amikor a függvény még az unalmas volt, a 3-hoz azt rendelte hozzá, hogy 6.

De amióta izgalmasabbá tettük, nos azóta már 8-at.

Ezt a tényt így jelöljük, hogy

és úgy mondjuk, hogy a függvény a 3-ban 8-at vesz föl.

Ezt nevezzük függvényértéknek.

Ugyanakkor, ha az x-ekkel közelítünk a 3-hoz,

akkor a függvényértékek közelítenek a 6-hoz.

A másik oldalról is.

Ezt a tényt, hogy ha akkor úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke 6 és így jelöljük:

Lássuk, mi van akkor, ha mondjuk .

A függvényérték

A határérték kiszámolásához föl kell tennünk magunknak azt a kérdést, hogy ha ,

akkor hova tart .

Nos a jelek szerint

és a határérték tehát

Vannak tehát olyan x-ek a függvény életében, ahol a határérték és a függvényérték nem egyezik meg és vannak olyanok, ahol megegyezik.

A mi függvényünk esetében egyetlen olyan x van, ahol a határérték és a függvényérték eltér.

Ez éppen x = 3, ahol a függvénnyel ez a kis kellemetlenség történik.

Itt a függvény ugrik egyet, mindenhol máshol teljesen normálisan viselkedik.

Ezt a normális viselkedést úgy fogjuk nevezni, hogy a függvény folytonos.

Folytonosnak nevezzük a függvényt azokban az x-ekben ahol a határértéke és a függvényértéke megegyezik.

A folytonosság kimutatásra pedig éppen ez lesz a módszerünk:

Kiszámoljuk a határértéket, aztán kiszámoljuk a függvényértéket, végül pedig föltesszük magunknak azt a kérdést, hogy az így kapott két szám megegyezik-e vagy sem.

Nézzünk meg néhány határértéket.

Itt van például az függvény.

Lássuk mennyi ez a határérték:

Nos ez egy folytonos függvény, ha a 2-t behelyettesítjük az jön ki, hogy

Hasonlóan nagy erőfeszítésekkel jár kiszámolni ezt is:

Mielőtt azonban túlzottan elbíznánk magunkat, nézzük meg ezt:

Ha itt x helyére 2-t írunk az jön ki, hogy

Ezzel pedig vannak bizonyos problémák. Aki nem hiszi, írja be a számológépbe és meglátja.

Szerencsére itt jön egy trükk.

Szorzattá alakítjuk a számlálót:

Aztán egyszerűsítünk.

És ebbe már be lehet helyettesíteni a 2-t.

Ha tehát itt van egy ilyen kellemetlenebb ügy, mint például ez:

Akkor a legfontosabb, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat,

aztán próbáljunk meg szorzattá alakítani.

Utána egyszerűsítünk,

és így már be lehet helyettesíteni.

A következő képsorból kiderül, hogy ez az egész egyszerűbb, mint azt valaha is gondoltuk volna.

BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez