Egy kör középpontja a pont, és a kör átmegy a ponton. Mekkora a kör sugara? Írjuk fel a kör egyenletét, és döntsük el, hogy a pont rajta van-e a körön.

A kör sugara éppen ekkora…
A K pontnak és a P pontnak a távolsága.

Itt is jön a távolságképlet:

Itt van ez az egyenes, aminek a meredeksége 2 és az y tengelyt 1-nél metszi…

És most jöhet a kör egyenlete:

Nézzük aztán, mi a helyzet a Q ponttal…
Hát, ez valahol itt van…
Így ránézésre rajta van a körön.

Egy kissé precízebben, akkor van rajta a Q pont a körön, ha a koordinátáit a kör egyenletébe helyettesítve az teljesül.

A Q pont tehát rajta van a körön.

Egy derékszögű háromszög három csúcsa:

A derékszög a C csúcsnál van.

Írjuk föl a C csúcson átmenő súlyvonal egyenletét
Írjuk föl a háromszög köré írható körének egyenletét.

Íme, a háromszög…
És ez pedig a súlyvonal.

Hogyha egy hipnózis segítségével felidézzük az általános iskolás emlékeinket…

Különösen azokat a részeket, amik a súlyvonalakkal kapcsolatosak…
Akkor talán bevillan egy kép, hogy a súlyvonal a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.

Ez tehát egy felezőpont.
És a szakasz felezőpontjának koordinátái:

A súlyvonal egyenlete innen már sima ügy.
Egy olyan egyenes egyenletét keressük, ami átmegy a C és a D ponton.

A b-t úgy kapjuk meg, hogy a C vagy a D pont koordinátáit behelyettesítjük.
Az mindegy, hogy melyiket.
Legyen mondjuk a C.

Meg is van a súlyvonal egyenlete.

És most nézzük a háromszög köré írható kör egyenletét.
Egy újabb hipnózis…

Ezúttal Thalész…
A derékszögű háromszögek köré írható köre a Thalész-kör.

Aminek a középpontja az átfogó felezőpontja.
A kör sugara pedig…

Az A és D pontok távolsága.
Vagy épp a B és D pontok távolsága.
Vagy a C és D pontok távolsága.

Mindegyik ugyanakkora.

És itt jön a kör egyenlete: