Középszintű matek érettségi epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mikor lesz két egyenes egymásra merőleges a koordinátageometriában. Ehhez arra van szükség, hogy az egyenesek meredekségének a szorzata -1 legyen. Az epizódból az is kiderül, hogy miért ez a feltétele a merőlegességnek. Ezek után megnézzük azt is, hogy van két kitüntetett egyenestípus a síkban, az egyik típus az x tengellyel párhuzamos egyenesek, a másik típus az y tengellyel párhuzamos egyenesek. Az x tengellyel párhuzamos egyenesek x=b alakúak, míg az y tengellyel párhuzamos egyenesek x=c alakúak. Az összes többi egyenesre viszont igaz, hogy akkor merőlegesek egymásra, ha a meredekségek szorzata -1. Végül megnézzük, hogyha adott egy háromszög három csúcsának koordinátája, akkor ebből hogyan lehet felírni az egyik csúcson átmenő magasságvonal egyenesének egyenletét.
Itt van ez az egyenes, aminek a meredeksége 2 és az y tengelyt 1-nél metszi…
És az egyenlete…
Hogyha ezt a kis háromszöget itt elforgatjuk 90 fokkal…
Akkor a meredekség ez lesz…
Ez a két egyenes éppen egymásra merőleges.
És az összes többi is, aminek a meredeksége -1/2.
A dolog minden egyenesre igaz.
Két egyenes pontosan akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata -1.
De azért van még itt egy kis csalás.
Létezik ugyanis egy olyan egyenes, aminek nincs meredeksége.
A függőleges egyenesnek…
Az y tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete:
Az x tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete pedig:
Ezeknek egyébként van meredekségük…
Mégpedig a meredekség nulla.
És most lássuk, mire használhatnánk mindezt, jóra vagy rosszra…
Ez a három pont egy háromszög három csúcsa.
Írjuk föl a C csúcson átmenő magasságvonal egyenesének egyenletét.
Hogyha ránk törnek a régi emlékek…
Hogy mi is volt egy háromszögben a magasságvonal…
A C csúcson átmenő magasságvonal az AB oldal egyenesére bocsájtott merőleges.
Ez itt az AB oldal egyenese…
És ez pedig a C-n átmenő merőleges.
Kezdjük azzal, hogy írjuk föl az AB oldal egyenes egyenletét.
Nézzük, mekkora a meredekség:
A b-t úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy olyan pontot, ami rajta van az egyenesen…
És a koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe.
Itt van, mondjuk ez a pont.
A magasságvonal erre merőleges lesz…
Így hát a meredekségek szorzata:
Itt jön a magasságvonal egyenlete:
Ez akkor fog átmenni a C csúcson, ha behelyettesítve a C csúcs koordinátáit az egyenlet teljesül.
Középszintű matek érettségi epizód.