Középszintű matek érettségi epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mi az a szinusz, koszinusz és tangens. Példákon keresztül, lépésről lépésre magyarázzuk el a szöggfüggvények működését, sőt még az is ki fog derülni, hogy mire jók ezek a valóságban. A szinusszal fogjuk kezdeni, ami egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya. És egyébként hegycsúcsok magasságának a kiszámításához a mai napig használják. Aztán jön a koszinusz, ami a derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó aránya, végül pedig a tangens, ami a befogókról szól: a szöggel szemközti és a szög melletti befogók arányát írja le. Megoldunk néhány feladatot lépésről lépésre, ahol megnézzük, hogyan lehet a szinusz a koszinusz és a tangens segítségével kiszámolni különböző dolgokat derékszögű háromszögekben. Geometriai feladatok megoldása trigonometrikus szögfüggvények segítségével, Derékszögű háromszögek, Szinusz, Koszinusz, Tangens. Szinuszos, koszinuszos és tangenses feladatok megoldással.
A hegycsúcsok magasságát egy ügyes kis trükkel lehet megmérni...
Kell hozzá egy lézeres távolságmérő…
Szögmérővel ellátva.
A távolságmérővel becélozzuk a hegycsúcs tetejét…
És lemérjük a távolságot.
Aztán megmérjük ezt a szöget.
És most jön a trükk.
Van itt ez a derékszögű háromszög…
Ebben a háromszögben itt a hegycsúcs magassága.
És mindjárt meg is tudjuk mondani, hogy ez mennyi ez a magasság.
Egy nagyon ravasz képlet segítségével.
Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát
A hegycsúcs magassága meg is van.
Hogyha pedig tudjuk, hogy mekkora a mérési pont tengerszintfeletti magassága…
Csak hozzáadjuk ehhez az 1926,1 métert…
És meg is van a hegycsúcs tengerszintfeletti magassága.
És most nézzünk meg egy másik érdekes történetet.
Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
A 32 fokos emelkedési szög ezt jelenti…
A vízszinteshez képest 32 fok fölfelé…
És ez itt a 100 méter.
Megint van egy derékszögű háromszög…
Amiben a torony magassága az egyik befogó…
És a 100 méter a másik befogó.
Ez a történet a háromszög két befogójáról szól…
Az ilyen esetekre pedig itt jön most egy újabb képlet.
Sőt, essünk túl mindegyiken…
Az ilyen derékszögű háromszöges problémáknál szinuszt, koszinuszt és tangenst fogunk használni.
A szinusz már megvan.
Itt jön a koszinusz…
És itt van még a tangens…
Most az egyik befogót keressük, és a másik befogót ismerjük…
Vagyis a három közül az fog kelleni, amiben két befogó szerepel.
És most nézzük, mi van ezzel a szinusszal…
És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.
Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy
csillag milyen távol van a Földtől.
Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,
például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,
de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.
A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk
használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a
Földről nézve nyáron… és télen.
Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.
Aminek a fele is egész lesz.
Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…
Úgy kb. 150 millió kilométerre.
És ez a két adat éppen elég is.
A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a
derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.
szöggel szemközti befogó
sin α = _______________________
átfogó
Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:
x = 8823,53 millió km
Van aztán egy ilyen is:
szög melletti befogó
__________________
átfogó
És végül itt van még ez:
szöggel szemközti befogó
______________________
szög melletti befogó
És most lássunk néhány érdekes történetet.
Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…
mármint ez a kecske.
Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…
éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.
x=16,17 méter
Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja
10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
m = 15,59 méter
Középszintű matek érettségi epizód.