GTK matek 1 epizód tartalma:
A függvények határértéke egy nagyon fontos fogalom a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. Függvények helyettesítési értéke, Függvények határértéke, A folytonosság, A határérték kiszámolása, Függvényérték, Határérték, Függvényhatárérték, Folytonos függvények határértéke, Nem folytonos függvények határértéke.
Beszéljünk a határértékekről.
Van itt egy ártalmatlan függvény
amit kicsit izgalmasabbá teszünk ezzel a feltétellel.
Amikor a függvény még az unalmas volt, a 3-hoz azt rendelte hozzá, hogy 6.
De amióta izgalmasabbá tettük, nos azóta már 8-at.
Ezt a tényt így jelöljük, hogy
és úgy mondjuk, hogy a függvény a 3-ban 8-at vesz föl.
Ezt nevezzük függvényértéknek.
Ugyanakkor, ha az x-ekkel közelítünk a 3-hoz,
akkor a függvényértékek közelítenek a 6-hoz.
A másik oldalról is.
Ezt a tényt, hogy ha akkor úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke 6 és így jelöljük:
Lássuk, mi van akkor, ha mondjuk .
A függvényérték
A határérték kiszámolásához föl kell tennünk magunknak azt a kérdést, hogy ha ,
akkor hova tart .
Nos a jelek szerint
és a határérték tehát
Vannak tehát olyan x-ek a függvény életében, ahol a határérték és a függvényérték nem egyezik meg és vannak olyanok, ahol megegyezik.
A mi függvényünk esetében egyetlen olyan x van, ahol a határérték és a függvényérték eltér.
Ez éppen x = 3, ahol a függvénnyel ez a kis kellemetlenség történik.
Itt a függvény ugrik egyet, mindenhol máshol teljesen normálisan viselkedik.
Ezt a normális viselkedést úgy fogjuk nevezni, hogy a függvény folytonos.
Folytonosnak nevezzük a függvényt azokban az x-ekben ahol a határértéke és a függvényértéke megegyezik.
A folytonosság kimutatásra pedig éppen ez lesz a módszerünk:
Kiszámoljuk a határértéket, aztán kiszámoljuk a függvényértéket, végül pedig föltesszük magunknak azt a kérdést, hogy az így kapott két szám megegyezik-e vagy sem.
Nézzünk meg néhány határértéket.
Itt van például az függvény.
Lássuk mennyi ez a határérték:
Nos ez egy folytonos függvény, ha a 2-t behelyettesítjük az jön ki, hogy
Hasonlóan nagy erőfeszítésekkel jár kiszámolni ezt is:
Mielőtt azonban túlzottan elbíznánk magunkat, nézzük meg ezt:
Ha itt x helyére 2-t írunk az jön ki, hogy
Ezzel pedig vannak bizonyos problémák. Aki nem hiszi, írja be a számológépbe és meglátja.
Szerencsére itt jön egy trükk.
Szorzattá alakítjuk a számlálót:
Aztán egyszerűsítünk.
És ebbe már be lehet helyettesíteni a 2-t.
Ha tehát itt van egy ilyen kellemetlenebb ügy, mint például ez:
Akkor a legfontosabb, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat,
aztán próbáljunk meg szorzattá alakítani.
Utána egyszerűsítünk,
és így már be lehet helyettesíteni.
A következő képsorból kiderül, hogy ez az egész egyszerűbb, mint azt valaha is gondoltuk volna.