Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit

és sajátvektorait.

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.

Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.

És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.

Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.

A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.

Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.

Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:

kiesik a konstans tag

Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.

Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,

de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.

Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.

Emeljünk ki 2-t.

A kettes módszer itt nem működik,

ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.

A másodfokú részt felbontjuk,

aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.

Van egy ilyen, hogy

emlékeztetőül:

A másodfokú izét szorzattá alakítjuk

Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,

aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.

Itt összevonunk:

Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,

mert a kétszeres sajátérték.

Jöhetnek a sajátvektorok!

Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.

Belerakjuk a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

Itt a bázistranszformáció elakad.

Ha két x is fönt mard,

az egyik t, a másik s

Most már itt se folytatható.

Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a és

már foglalt, legyen .

A sajátvektor ha

ahol

És a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A sajátvektor ha