Alkalmazott matematika 2 epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mit jelent az LU-felbontás, hogyan számoljuk ki egy mátrix LU-felbontását és azt is megnézzük, hogy mire jó mindez valójában. LU-felbontás lépésről lépésre.
Van itt ez a mátrix.
És most egy őrülten jó dolgot fogunk csinálni vele…
Felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára.
Nem sokkal később pedig azt is megtudjuk, hogy valójában mire jó mindez.
A módszert LU-felbontásnak nevezzük, és az egész a Gauss eliminációra épül.
Egy icipicit módosított Gauss eliminációra…
Ahhoz, hogy ezt a sor elején álló 6-ost megkapjuk…
Az első sort 3-mal kell szorozni.
Ehhez a 10-eshez pedig…
Hát igen, ehhez 5-tel.
Ezeket az értékes információkat eltároljuk itt alul.
És aztán jön a kinullázás, ahogy ez a Gauss-nál lenni szokott.
A folytatás is úgy működik, ahogy a Gauss-nál…
Csak éppen nem csinálunk ebből a 3-asból 1-est.
Marad így, ahogy van.
A 3-as alatt viszont ezt a 6-ost mindjárt kinullázzuk.
Ahhoz, hogy a 6-ost megkapjuk…
A második sort 2-vel kell szorozni.
Bekönyveljük ezt is ide az alsó mátrixba.
Aztán jön a kinullázás.
Végül már csak egyetlen dolog van hátra.
Ezt a mátrixot elnevezzük felső mátrixnak…
A másikat pedig alsónak.
Ja, és a főátlójába 1-eseket írunk.
Felülre meg nullákat.
És készen is van az LU-felbontás.
Nézzünk meg egy másikat is.
Ezzel a 3-assal kezdünk…
És alatta kinullázunk.
Ezeket a szorzókat felírjuk szépen ide.
Aztán jön a kinullázás.
Most ezzel a 2-essel folytatjuk…
Legyártjuk ezt a 4-est.
Ennek érdekében a második sort 2-vel kell szorozni.
Aztán kinullázunk.
És kész is.
Most pedig lássuk mire jó ez az egész.
Azon kívül persze, hogy remek szórakozás esős, hideg délutánokon…
A lényeg az U mátrixban van.
Az U mátrix segítségével meg tudjuk mondani, hogy mekkora az eredeti mátrix rangja, mennyi a determinánsa, segít az egyenletrendszerek megoldásában és az idegenek inváziója elleni harcban.
Az utóbbi esetben a hatékonysága még nem bizonyított.
Az eredeti mátrix rangja annyi, ahány nem nulla elem van az U mátrix főátlójában.
Rang=3
Az eredeti mátrix determinánsa az U mátrix főátlójában lévő elemek szorzata.
Hogyha pedig van egy ilyen egyenletrendszer:
Itt a valamilyen vektor…
Mondjuk ez.
Akkor ennek az egyenletrendszernek a megoldása is gyorsan leolvasható.
És most lássuk, ezen kívül mit tud még az LU-felbontás…
Alkalmazott matematika 2 epizód.