Analízis 1 képsor tartalma:

Rendőr-elv, Közrefogási-elv, Becslések, Hogyan kell becsülni, Alsó becslés, Felső becslés, n-edik gyökös sorozatok becslése, Törtek becslése.

A képsor tartalma

Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha

és ezt a tényt így jelöljük, hogy

Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.

Nagy n-ekre így néz ki például az n2…

és így néz ki az n3.

De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…

nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.

Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.

Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.

Jó tudni, ki milyen erős.

Most pedig térjünk a tárgyra.

Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.

A tétel azt mondja, hogy ha

és és van olyan , hogy minden esetén

akkor .

A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a

típusú határértékek.

Vegyük például ezt a határértéket:

Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és

ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,

mintha ott sem volna, olyan.

Így aztán nem meglepő, hogy a határérték

A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.

A terv a következő.

Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,

és a határértéke 5.

Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.

Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.

Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.

Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,

és kell egy másik, ami nála nagyobb.

Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.

Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.

Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.

Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.

Nézzünk meg egy másik határértéket is.

A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .

És most jöhet a becslés.

Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.

De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.

A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

Aztán vannak bonyolultabb esetek is:

A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:

Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.

Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.

Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.

De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.

Sajna ez probléma...

Szükségünk van tehát egy trükkre.

Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.

A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:

Nos igen, ha .

Innentől már rutinmunka.

Most pedig lássuk mi jöhet még.

Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.

A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.

Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.

Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.

És most jöhet a precíz megoldás.

Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.

Az alsó becslés már érdekesebb.

Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.

És ezt még alulról becsüljük.

Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nos ez teljesül, ha .

Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.

Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.

A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,

a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.

ugyanis biztosan nem negatív.

Az alsó becslés már érdekesebb.

A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.

A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.

Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.

Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.

Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:

De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.

Kezdjük egy könnyűvel:

Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,

alsó becslésnél pedig növeljük:

Itt jön egy kis trükk.

Itt jönnek az igazán vicces esetek.

Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:

És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.

 

A rendőr-elv

07
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Rendőr-elv, Közrefogási-elv, Becslések, Hogyan kell becsülni, Alsó becslés, Felső becslés, n-edik gyökös sorozatok becslése, Törtek becslése.

Itt jön egy fantasztikus
Analízis 1 képsor.
Végül is miért ne néznél meg
még egy képsort?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!