Egy leképezést akkor nevezünk lineáris leképezésnek, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy

A leképezés vektoraihoz rendel hozzá -ben lévő vektorokat.

A -nek ezt a részét képtérnek nevezzük és -vel jelöljük.

Vannak olyan vektorok, amikből a leképezés nullvektort csinál.

A -nek azt a részét amiben ezek a vektorok vannak magtérnek nevezzük

és -vel jelöljük.

lineáris leképezés, ha

és

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal. Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.

Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.

A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixa

Lássunk néhány példát!

Vegyük azt a leképezést, amely és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt van két vektor

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Van itt azonban egy kis gond, ha elvégezzük az összeadást.

Úgy tűnik tehát nem teljesül, hogy ezért a másik tulajdonságot meg se nézzük, sajna nem lineáris leképezés.

Nézzünk meg egy másik leképezést is, amely és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt vannak megint ezek a vektorok

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Nézzük, teljesül-e, hogy:

Mindkettő teljesül, tehát a leképezés lineáris.

Most, hogy ez kiderült, lássuk mi lesz a magtér és a képtér, illetve a leképezés mátrixa.

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát

Ebből következik, vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik:

A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája bármi, de második koordinátája nulla, vagyis:

A transzformáció mátrixa standard bázisban:

tehát a transzformáció mátrixa:

Ez igazán remek, úgyhogy nézzünk meg még egy leképezést is.

Vegyük azt az leképezést, hogy

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.

Itt van két vektor

és lássuk, hogy teljesül-e:

Ezek sajna nem egyenlők, így nem teljesül,

hogy tehát

nem lineáris leképezés.