Emelt szintű matek érettségi epizód tartalma:
Most végre kiderül, hogy mitől "számtani" a számtani sorozat és miért nevezzük "mértani"nak a mértani sorozatot. Jönnek a számtani és mértani közepek, és megnézzük, hogy mikor alkot három egymást követő szám számtani vagy mértani sorozatot.
Most pedig végre kiderül, hogy miért hívják „számtani”nak a számtani sorozatot, és mitől „mértani” a mértani sorozat.
Sötét titkok fognak kiderülni, úgyhogy mindenki döntse el, valóban tudni akarja-e…
Az első titokzatos dolog a nevezetes közepek lesznek.
Ezt hívjuk az a és b számok számtani közepének:
A számtani közép nem más, mint az átlag.
És például három számnak is van számtani közepe…
Vagy négynek is.
De vannak olyan esetek, amikor egy másfajta átlagolásra van szükség.
Hogyha valaki például idősorok statisztikai elemzésével szeretne foglalkozni…
Vagy akkor is, ha szeretné tudni, hogy mitől „mértani” a mértani sorozat.
Ezt a másik típusú átlagot mértani átlagnak nevezzük…
És már jön is.
És egyúttal ez a két szám mértani átlaga.
A dolog most is működik több számra is…
És mindig annyiadik gyököt kell vonni, ahány szám van.
Most pedig lássuk, mi köze ezeknek a sorozatokhoz.
Hogyha x, y és z egy számtani sorozat három egymást követő tagja…
És a sorozat differenciája pedig d…
Akkor az x d-vel kevesebb…
A z pedig d-vel több az y-nál.
A három egymást követő tag közül a középső mindig a két másik tagnak a számtani közepe.
És most nézzük, mi a helyzet a mértani sorozatoknál.
És íme, itt a mértani közép.
És végül még egy dolog…
Nagyon szépek ezek a számtani és mértani közepek, de a mértani közepes képletben kicsit aggasztó ez az abszolútérték.
Vagyis jobban járunk, ha inkább ezt a verziót használjuk.
És akkor már a számtani sorozatnál is egyszerűbb inkább ez.
Most pedig lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket.
Egy mértani sorozat első három tagjának összege 124. Ha az első tagjához 12-t, és a második tagjához 36-ot adunk, a harmadik tagjából pedig 4-et levonunk, akkor az így kapott három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja lesz. Mekkora az eredeti mértani sorozat hányadosa?
Az eredeti mértani sorozat első három tagja:
És itt jön a számtani sorozat három egymás utáni tagja:
A mértani sorozat első három tagjának összege pedig 124…
Úgy tűnik, hogy két ilyen mértani sorozat is lesz…
Az egyiknek a hányadosa q=5 a másiknak pedig q=1/5.
Emelt szintű matek érettségi epizód.