Gazdasági matematika 2 epizód tartalma:
Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mi a mátrixok definitsége. | Sarokfőminor, Sarokdetermináns, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit, Pozitív szemidefinit, Negatív szemidefinit, Sajátérték, Sajátvektor, Karakterisztikus egyenlet. |
Néhány nagyon vicc es mátrixokkal kapcsolatos fogalommal fogunk megismerkedni.
Az első ilyen fogalom a sarokdetermináns vagy másnéven sarokfőminor.
Van itt egy mátrix:
Ennek a mátrixnak az első sarokfőminora ez a 2-es
A második sarokfőminor a
bal felső -es determináns
A harmadik sarokfőminor a
bal felső -as determináns
Ennek kiszámolása elég unalmas, de a kifejtési tétellel az jön ki, hogy
A negyedik sarokfőminor pedig
az egész mátrix determinánsa
Amit még az előzőnél is unalmasabb kiszámolni, de a kifejtési tétel szerint
A másik nagyon vicces fogalom a mátrixok definitsége lesz.
A definitség megállapításához pedig éppen ezek a főminorok fognak nekünk kelleni, pontosabban az, hogy milyen előjelűek.
Most éppen az első sarokfőminor pozitív, a második szintén pozitív,
a harmadik és negyedik pedig negatív.
Lássuk a definitséget.
Az -es mátrix
pozitív definit,
ha
negatív definit,
ha
pozitív szemidefinit,
ha
negatív szemidefinit,
ha
indefinit,
ha
minden sajátérték:
minden sajátérték:
minden sajátérték:
minden sajátérték:
van és sajátérték
és
-es mátrixoknál a definitség a sarokfőminorok alapján is eldönthető:
mindkét sarokfőminor
pozitív
az első negatív, a
második pozitív
az első pozitív, a
második nulla
az első negatív, a
második nulla
a többi esetben
-es mátrixoknál a definitség már nehezebben dönthető el a sarokfőminorok alapján:
minden sarokfőminor
pozitív
váltakozva - + - +
de mínusszal indul
Ha és nem az előző két esettel van dolgunk,
akkor biztosan indefinit.
Ha akkor nem tudni, ilyenkor csak
a sajátértékek kiszámolásával dönthető el.
Lássunk néhány mátrixot és állapítsuk meg a definitségüket.
Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.
A sajátértékeket csak a legvégső esetben számoljuk ki, ha a sarokfőminorokkal szerencsétlenül járunk. Kezdjük az -val.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Az mátrixnak minden sarokfőminora pozitív, tehát pozitív definit.
Nézzük mi van a mátrixszal.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Itt is jön a kifejtési tétel, de nem szeretnék senkit untatni vele, az eredmény -15
A mátrix sarokfőminorai váltakozó előjellel - + - + - … ezért negatív definit.
Jöhet a .
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Már megint a kifejtési tétel, de ne húzzuk az időt, az eredmény 1
A sarokfőminorok itt is váltakozó előjelűek, de most + - +
Negatív definit csak olyankor van, ha a váltakozás mínusszal indul, tehát ez most nem lehet negatív definit.
Pozitív definit sem, mert akkor minden sarokfőminor pozitív, tehát marad a két szemidefinit és az indefinit.
A szemidefiniteknél viszont a mátrix determinánsa nulla.
Most ami nem éppen nulla, tehát indefinit.
A mátrix sarokfőminorai alapján nem lehet pozitív vagy negatív definit,
viszont miatt szemidefinit sem lehet ezért indefinit.
Végül lássuk mi van -vel.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Hát ennél rosszabb nem is történhetett volna.
Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor vagy valamelyik
szemidefinit vagy indefinit, de csak úgy tudjuk eldönteni,
ha kiszámoljuk a sajátértékeit.
Lássuk tehát a sajátértékeket.
A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki
Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.
Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.
és összevonunk
végül kiemelünk
A sajátértékek:
Kiemelünk 3-at
Mindhárom sajátértékre teljesül, hogy
a mátrix tehát pozitív szemidefinit.
Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig
különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-
vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.
Így hát is diagonalizálható.
Lássuk a hasonló mátrixokat!
így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,
csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.
Gazdasági matematika 2 epizód.