Gazdasági matematika 2 epizód tartalma:
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Parciális deriválás, x szerinti derivált, y szerinti derivált, Elsőrendű deriváltak, Stacionárius pont, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit.
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Gazdasági matematika 2 epizód.