Gazdasági matematika 2 epizód tartalma:
Egy V vektortérben a vektorok generátor-rendszert alkotnak,ha minden
vektor a V vektortérben előáll alakban.
Vegyük például az vektorteret, vagyis a hétköznapi értelemben vett teret.
Ebben a vektortérben generátor-rendszert alkot a
mert segítségükkel minden vektor előáll.
Nézzük meg! Van itt mondjuk egy vektor
ami valóban előállítható a vektorokkal.
Bármilyen vektor előállítható. Ha mondjuk
Akkor íme, már meg is van:
Ha ezekhez a vektorokhoz egy újabb vektort hozzáveszünk, akkor ugyanúgy generátor-rendszert kapunk.
Vegyük hozzá mondjuk ezt:
Ha a vektort eddig elő tudtuk előállítani, akkor ezután is elő tudjuk:
Egyszerűen nullát veszünk az új vektorból, így olyan,mintha az új vektor ott se volna.
Ha viszont az eredeti generátorrendszerből egy vektort elveszünk, akkor az már nem generátor-rendszer.
Próbáljuk csak meg a vektort a megmaradt két vektorból előállítani. Nem fog menni.
Érdemes tehát megjegyezni, hogy egy generátor-rendszerhez újabb vektorokat hozzávéve ismét generátor-rendszert kapunk, ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor már nem biztos.
A kérdés az, hogy -ban hány darab vektor lehet független és hány darab vektor lehet generátor-rendszer. Erről szól a következő remek táblázat.
száma
megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen
-ban
megadható-e ennyi vektor úgy, hogy generátor-rendszer legyen -ban
1
2
3
4
5
Egy darab vektor biztosan megadható úgy, hogy független legyen, viszont nem elegendő ahhoz, hogy generáljon.
Ő egymaga, csak egy egyenest képes előállítani.
Két vektor is megadható úgy, hogy független legyen,viszont ezek sem generátor-rendszer.
Ezek ketten egy síkot feszítenek ki.
Vagyis a sík minden vektorát előállítják, de mást nem.
Három vektor még mindig megadható úgy, hogy független legyen, és ahogyan ezt már az előbb láttuk generátor-rendszer is lesz.
Ez a három vektor kifeszíti a teret.
Most vegyünk egy negyedik vektort is.
Mivel az eddigi három vektor generátor-rendszer, így bármi is ez a negyedik vektor, azt ők képesek előállítani.
Vagyis ezek négyen már nem függetlenek, de továbbra is generátor-rendszer.
Ugyanez a helyzet,ha hozzáveszünk még egy ötödik vektort is.
-ban pontosan három vektor adható meg úgy, hogy azok még éppen függetlenek legyenek,de már generáljanak.
A független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.
Egy vektortér dimenziója a bázis elemszáma. Így jutunk el tudományosan arra az álláspontra, hogy a tér dimenziója éppen három.
Ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk,
független rendszert kapunk
(ha hozzáveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)
Ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk,
generátor-rendszert kapunk
(ha elveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)
Ha -ben van n darab független vektor, akkor az generátor-rendszer is
(mert bázis)
Ha -ben van n darab vektorból álló generátor-rendszer,
akkor ezek a vektorok függetlenek is
(mert bázis)
A bázis minden vektort egyértelműen állít elő, míg -ben azok a
generátor-rendszerek pedig, amelyek n-nél több vektorból állnak,
minden vektort végtelensokféleképpen
Gazdasági matematika 2 epizód.