A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.

Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.

Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.

A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.

Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:

Itt jön a primitív függvény:

És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.

Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

A terv a következő:

Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,

aztán a sárga függvény területét is,

végül a kettőt egymásból kivonjuk.

Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.

Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.

Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.

Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.

A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,

oldalai pedig x=a és x=b.

Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,

sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.

Az ilyen normáltartományok területe:

vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,

akkor fordítva.

Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

Először kiszámoljuk a metszéspontokat,

aztán jöhet az integrálás.