Kalkulus epizód tartalma:
Az elemi bázistranszformáció rendkívül fontos a lineáris algebrában. Megmutatjuk, hogy mikre kell figyelned. | Lineáris egyenletrendszerek megoldása, Végtelen sok megoldás, Nulla darab megoldás, Pivot elem, Generáló elem, Bázistranszformáció, Általános megoldás, Partikuláris megoldás, Szabadságfok, Rang. |
Nézzünk meg két nagyon izgalmas egyenletrendszert!
Ebben az egyenletrendszerben valójában
csak két egyenlet van.
A harmadik egyenlet ugyanis az első kettő összege.
Ilyen alapon lehetne még egy negyedik, ötödik,
sőt hatodik egyenlet is.
Valójában tehát csak két egyenlet van, vagyis több
az ismeretlen, mint ahány egyenlet, és ilyenkor
az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
Na ennyi elég
Ebben az egyenletrendszerben a harmadik egyenlet
szintén az első kettő összege, de van egy kis gond.
A jobb oldal ugyanis nem stimmel, mert 5 helyett 6 van.
Ilyenkor ugye nem tud egyszerre mindegyik egyenlet
teljesülni, vagyis az egyenletek ellentmondanak,
és ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.
Van tehát két egyenletrendszerünk, és mi előre tudjuk, hogy az egyiknek végtelen sok megoldása lesz, a másiknak pedig nem lesz megoldása.
Nézzük meg, hogy ha elkezdjük megoldani ezeket az egyenletrendszereket a jól bevált elemi bázistranszformációval, akkor vajon hogyan fog kiderülni, hogy az egyiknek
végtelen sok megoldása van, a másiknak pedig nincs megoldása.
Itt kezdődnek a problémák.
-at ugyanis nem tudjuk lehozni, mert 0-t nem választhatunk generáló elemnek.
A bázistranszformáció tehát úgy ér véget, hogy marad egy –s sor.
HA MARADNAK -S SOROK, AHOL MÁR NEM TUDUNK GENERÁLÓ ELEMET VÁLASZTANI, OLYANKOR MINDIG VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN, VAGY NINCS MEGOLDÁS.
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN
x-es oszlop
0
0
HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,
AKKOR NINCS MEGOLDÁS
x-es oszlop
0
NEM 0
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
A fent maradt változók úgynevezett szabad változók, ők t, s és egyéb néven szerepelnek tovább a történetben.
A MEGOLDÁS:
ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:
SZABADSÁGFOK=ahány fönt marad
(most a szabadságfok 1)
RANG=ahány levihető
(most a rang 2)
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
Itt már nincs további teendő