Középiskolai matek (teljes) epizód tartalma:
Itt jön egy tipikus érettségi feladat mértani sorozatokkal. A trükk, hogy egy százalékos változásból kell a mértani sorozat hányadosát kiszámolni, vagy épp fordítva, a mértani sorozat hányadosából kell százalékos változást megadni.
A Föld népessége 2022-ben 8 milliárd fő volt és a népesség növekedésének mértéke jelenleg körülbelül évi 1%.
a) Hány fő élne 2100-ban a Földön, ha addig folyamatosan évi 1% lenne a népességnövekedés?
b) Melyik évben érné el a 12 milliárd főt a Föld népessége évi 1%-os növekedés mellett?
c) Ha 2100-ra 10,35 milliárd fő lesz a Föld népessége, akkor 2022 végétől kezdve évente hány százalékkal kellene növekednie a népességnek, feltételezve, hogy minden évben ugyanannyi százalékkal nő a népesség?
Ez a történet nagyon emlékeztet Cilire, aki minden nap egy kockával több csokit eszik meg…
És Bobra, aki minden nap 1%-kal jobban utálja az ilyen matekfeladatokat.
Cili napi csokiadagjai mindig ugyanannyival nőnek, ezért ez egy számtani sorozat.
Bobnál viszont a növekedés minden nap 1%, vagyis
Az ilyen százalékos növekedés pedig mindig mértani sorozat.
És ebben a feladatban is éppen 1%-os a növekedés…
Így hát a sorozat hányadosa meg is van.
A sorozat első tagja a 8 milliárd…
A hányadosa pedig ez a bizonyos 1,01 lesz.
Most pedig készítsünk egy rajzot.
Hát, egészen 2100-ig nem fog kiférni…
De 2030-ig még igen.
És innen még 70 év.
Úgyhogy a sorozat indexéhez is 70-et kell adni.
Csak kiszámoljuk ezt a tagot, és kész is:
Ennyi ember élne a Földön 2100-ban, ha folyamatosan 1%-os a növekedés.
Most nézzük, hányadik tagnál éri el a sorozat a 12 milliárdot.
Jó lenne tudni, hogy mennyi az n.
Onnan a kitevőből egy logaritmus segítségével tudjuk leszedni…
Az mindegy, hogy milyen alapú logaritmus.
Legyen 10-es alapú, mert az van minden számológépen.
Az első olyan tag, ami 12 milliárdnál nagyobb, a 42. tag.
Már csak azt kéne tudni, hogy ez melyik év.
A jelek szerint 2063-ban érné el a Föld népessége a 12 milliárd főt.
Hogyha 2100-ra 10,35 milliárd fő lesz a népesség…
Akkor egy olyan mértani sorozatunk van, aminek az első tagja ugyanúgy 8 milliárd, mint az előbb…
És 2100-ban a sorozat 79. tagja van, ezt már korábban kiderítettük…
Ez a tag pedig 10,35 milliárd.
Itt a q-t úgy kapjuk meg, hogy gyököt kell hozzá vonni.
Mégpedig hetvennyolcadik gyököt.
Akinek nem őskövület a számológépe, ezt így tudja beírni:
A mértani sorozat hányadosa tehát 1,0033 vagyis évente ennyivel szorzódik a Föld népessége.
Úgy kapunk belőle százalékot, hogy megszorozzuk 100-zal.
Évente átlagosan 0,33%-kal kéne növekednie a népességnek.
Középiskolai matek (teljes) epizód.