Lineáris algebra epizód tartalma:
Elmeséljük, mire használhatók az interpolációs polinomok. Egy Newton-interpoláción keresztül bemutatjuk, hogyan használható az interpoláció egy függvény helyettesítési értékeinek becslésére.
És most lássuk, mire használhatnánk ezeket az interpolációs polinomokat, jóra vagy rosszra…
Kezdjük a rosszal.
Egy alagút tervezett nyomvonala 600 méteres tengerszintfeletti magasságban halad.
A kőzet, amelybe az alagutat fúrják gránit, de nem sokkal 600 méter felett egy vízbetörések miatt veszélyes dolomitréteg húzódik, amit az építkezés során szeretnének elkerülni.
Ha ugyanis vannak olyan szakaszok, ahol a dolomit benyúlik 600 méter alá…
akkor változtatni kell a terveken.
Négy helyen végeznek függőleges próbafúrásokat, hogy megállapítsák a geológiai szerkezetet.
A fúrásokból vett minta alapján a dolomitréteg ezeken a tengerszintfeletti magasságokon kezdődik:
Egy interpolációs polinom segítségével megpróbáljuk meghatározni, hogy milyen magasan húzódik a dolomitréteg alsó határa.
Használjuk, mondjuk a Newton-interpolációt.
Már jön is.
A négy adatból kapott interpolációs polinom:
Ha ugyanis vannak olyan szakaszok, ahol a dolomit benyúlik 600 méter alá…
akkor változtatni kell a terveken.
Négy helyen végeznek függőleges próbafúrásokat, hogy megállapítsák a geológiai szerkezetet.
A fúrásokból vett minta alapján a dolomitréteg ezeken a tengerszintfeletti magasságokon kezdődik:
Egy interpolációs polinom segítségével megpróbáljuk meghatározni, hogy milyen magasan húzódik a dolomitréteg alsó határa.
Használjuk, mondjuk a Newton-interpolációt.
Már jön is.
A négy adatból kapott interpolációs polinom:
Az interpolációs polinom alapján feltételezhető, hogy a dolomitréteg ezen a 15 kilométeres szakaszon nem nyúlik 600 méteres tengerszintfeletti magasság alá.
Hogyha az alagút fúrása közben tudni szeretnénk, hogy várhatóan mekkora magasságban kezdődik a dolomitréteg...
Egyszerűen csak be kell helyettesíteni az interpolációs polinomba, hogy éppen hol tartunk a fúrással:
Ha ezt elég sok helyen kiszámoljuk, akkor azt is meg tudjuk mondani, hogy az ötödik és a tizenötödik kilométer között hol lesz a legalacsonyabban a dolomitréteg határa.
De mielőtt megalapítanánk az alagútfúró vállalkozásunkat, azért nem árt, ha tudjuk, hogy erre a négy pontra még jópár polinom-függvény illeszthető.
És bizony lehet köztük olyan is, amely az alagút számára végzetes.
Azt, hogy az interpolációs polinom mennyire tér el a valódi helyzettől, az interpoláció hibájának nevezzük.
Nézzük, hogyan működik az interpolációs polinomok hibabecslése.