Lineáris algebra epizód tartalma:

Szuper-egyszerűen megvizsgálunk néhány leképzést, hogy lineáris-e. | Izgalmas lineáris transzformációk, Képtér, Magtér, Transzformációk mátrixa. |

A képsor tartalma

Egy leképezést akkor nevezünk lineáris leképezésnek, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy

A leképezés vektoraihoz rendel hozzá -ben lévő vektorokat.

A -nek ezt a részét képtérnek nevezzük és -vel jelöljük.

Vannak olyan vektorok, amikből a leképezés nullvektort csinál.

A -nek azt a részét amiben ezek a vektorok vannak magtérnek nevezzük

és -vel jelöljük.

lineáris leképezés, ha

és

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal. Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.

Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.

A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixa

Lássunk néhány példát!

Vegyük azt a leképezést, amely és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt van két vektor

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Van itt azonban egy kis gond, ha elvégezzük az összeadást.

Úgy tűnik tehát nem teljesül, hogy ezért a másik tulajdonságot meg se nézzük, sajna nem lineáris leképezés.

Nézzünk meg egy másik leképezést is, amely és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt vannak megint ezek a vektorok

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Nézzük, teljesül-e, hogy:

Mindkettő teljesül, tehát a leképezés lineáris.

Most, hogy ez kiderült, lássuk mi lesz a magtér és a képtér, illetve a leképezés mátrixa.

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát

Ebből következik, vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik:

A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája bármi, de második koordinátája nulla, vagyis:

A transzformáció mátrixa standard bázisban:

tehát a transzformáció mátrixa:

Ez igazán remek, úgyhogy nézzünk meg még egy leképezést is.

Vegyük azt az leképezést, hogy

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.

Itt van két vektor

és lássuk, hogy teljesül-e:

Ezek sajna nem egyenlők, így nem teljesül,

hogy tehát

nem lineáris leképezés.

 

Lineáris leképezések vizsgálata

03
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Szuper-egyszerűen megvizsgálunk néhány leképzést, hogy lineáris-e. | Izgalmas lineáris transzformációk, Képtér, Magtér, Transzformációk mátrixa. |

Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?
Ugrás az
összeshez

Fórum

Tartsd a kapcsolatot sorstársaiddal. Segítsetek egymásnak matekból.