Matek 1 Corvinus epizód tartalma:
Helyettesítéses integrálás, Primitív függvény keresés, Gyökös kifejezések integrálása helyettesítéssel, Új változó bevezetése amikor a gyök alatti kifejezés nem lineáris, dx/dt, Gyökös kifejezések elnevezése.
HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Nézzünk erre egy példát!
Az ilyen esetekben mindig az egész gyökös kifejezést érdemes elnevezni u-nak.
HASZNOS HELYETTESÍTÉSEK
Eddig jó, most pedig kifejezzük x-et.
Amit aztán feltehetően majd be fogunk helyettesíteni ide.
De sajna van itt még egy dolog.
Nos az, hogy a dx-et is le kell cserélni, mégpedig a következőképpen.
A kifejezett x-et deriváljuk u szerint.
Akit esetleg meglep amit lát, nos mindent meg tudok magyarázni.
A dolog úgy áll, hogy réges-régen az emberek még nem a jól ismert f’ jelölést használták a deriválásra, hanem azt, hogy
Vannak akik még ma is ezt használják.
Később aztán egyszerűsítették a jelöléseket, de valamilyen rejtélyes okból itt a
helyettesítéses integrálásnál mégis megmaradt az ősi módszer.
Szóval törődjünk bele, hogy a kifejezett x-nek a deriváltja nem a szokásos
hanem
Remélhetőleg azért senkinek nem lesznek álmatlan éjszakái emiatt.
Most pedig jön a helyettesítés.
Nos ez megvolna.
Nézzünk meg még egy ilyet.
A helyettesítéses integrálást érdemes használni akkor is, ha ronda összetett függvényekkel van dolgunk.
Ilyenkor általában a belső függvényt nevezzük el u-nak.
Most pedig parciálisan integrálunk.
Lássunk még egy ilyet.
Ebből ki kell fejeznünk x-et
egy kis trükk segítségével.
Van egy ilyen, hogy
úgyhogy ezzel megvolnánk.
Már csak deriválni kell u szerint.
És jöhet a helyettesítés.
Most pedig integrálunk. A nevező deriváltja
éppen a számláló.
Vannak aztán ezeknél izgalmasabb helyettesítések is.
Már jönnek is a következő képsorban. Persze csak azoknak akik kedvelik az izgalmakat.
A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
Eddig voltak a könnyebb helyettesítéses integrálások most pedig jöhetnek a nehezebbek. Kezdjük például a gyökös esetekkel.
Ha a gyök alatti kifejezés lineáris, az a kellemesebb ügy, ilyenkor mindig az egész gyökös kifejezést érdemes helyettesíteni.
Ha viszont a gyök alatti kifejezés nem lineáris, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor nem is mindig helyettesítéssel érdemes próbálkozni.
Gyanakvásra ad okot, hogy a gyök alatti 1 – x4 deriváltja majdnem a számláló.
Így aztán nem helyettesítünk, hanem
az S2 névre keresztelt módszert használjuk.
De ha bosszantó módon a számlálóban nem x3 van hanem x2,
akkor az előző módszer nem működik.
Így hát elkeseredésünkben a helyettesítéses integrálást választjuk.
Íme a menü.
Most éppen erre lesz szükség.
Lássuk mi lesz ebből.
Most jön az, hogy deriváljuk x-et.
Először a külső függvényt deriváljuk,
aztán a belsőt.
Hát ez eddig nem tűnik túl bíztatónak. De nézzük a helyettesítést.
És most jön a lényeg.
Az egész helyettesítést azért csináljuk, mert
és így megszabadulunk a gyökjeltől.
Az már csak külön mázli, hogy egyszerűsíteni is tudunk.
Végül pedig kiderül, hogy ez életünk legkönnyebb integrálása.
Már csak annyi dolgunk van, hogy u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
Tényleg mit is neveztünk u-nak?
Most pedig mindkét oldalnak vesszük az arkusz szinuszát.
Ez a szinusz inverze, és így
Nézzünk meg még egy izgalmas esetet.
Most jön az, hogy megszabadulunk a gyökjeltől.
És most pedig jó lenne integrálni egyet.
Ehhez egy kis trükkre van szükség.
Már megint
Aztán pedig darabolunk (T1)
Végül u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.
A következő történet a trigonometrikus függvények helyettesítéséről fog szólni.
Nézzünk meg egy gyökös esetet is ebben a j(t) belső függvényes verzióban.
Ilyenkor a nevezőben lévő gyökös kifejezést érdemes elnevezni t-nek,
tehát így és .
Ez utóbb lesz a j(t) függvény,
vagyis és .
A helyettesítést elvégezve feladatunk a következőképpen alakul:
Itt még t helyére vissza kell helyettesíteni és kész is.